MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinsinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinsinlem 24809
Description: Lemma for asinsin 24810. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinsinlem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Proof of Theorem asinsinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10179 . . . . . 6 i ∈ ℂ
2 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 10204 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 698 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
54recld 14125 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
65reefcld 15009 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
7 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
8 neghalfpirx 24409 . . . . . . 7 -(π / 2) ∈ ℝ*
9 halfpire 24407 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
109rexri 10281 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ*
11 elioo2 12401 . . . . . . 7 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2))))
128, 10, 11mp2an 710 . . . . . 6 ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
137, 12sylib 208 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
1413simp1d 1136 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1514recoscld 15065 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
16 efgt0 15024 . . . 4 ((ℜ‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
175, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
18 cosq14gt0 24453 . . . 4 ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(ℜ‘𝐴)))
1918adantl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (cos‘(ℜ‘𝐴)))
206, 15, 17, 19mulgt0d 10376 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (cos‘(ℜ‘𝐴))))
21 efeul 15083 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))))
224, 21syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))))
2322fveq2d 6348 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (ℜ‘((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))))
244imcld 14126 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
2524recoscld 15065 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
2625recnd 10252 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℂ)
2724resincld 15064 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
2827recnd 10252 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℂ)
29 mulcl 10204 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
301, 28, 29sylancr 698 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
3126, 30addcld 10243 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))) ∈ ℂ)
326, 31remul2d 14158 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · ((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))))
3325, 27crred 14162 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))) = (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))))
34 imre 14039 . . . . . . . 8 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
354, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
361, 1mulneg1i 10660 . . . . . . . . . . 11 (-i · i) = -(i · i)
37 ixi 10840 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
3837negeqi 10458 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
39 negneg1e1 11312 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
4036, 38, 393eqtri 2778 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = 1
4140oveq1i 6815 . . . . . . . . 9 ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
42 negicn 10466 . . . . . . . . . . 11 -i ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -i ∈ ℂ)
441a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
4543, 44, 2mulassd 10247 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
46 mulid2 10222 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4746adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4841, 45, 473eqtr3a 2810 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
4948fveq2d 6348 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
5035, 49eqtrd 2786 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
5150fveq2d 6348 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) = (cos‘(ℜ‘𝐴)))
5233, 51eqtrd 2786 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴)))))) = (cos‘(ℜ‘𝐴)))
5352oveq2d 6821 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (ℜ‘((cos‘(ℑ‘(i · 𝐴))) + (i · (sin‘(ℑ‘(i · 𝐴))))))) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (cos‘(ℜ‘𝐴))))
5423, 32, 533eqtrd 2790 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) · (cos‘(ℜ‘𝐴))))
5520, 54breqtrrd 4824 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121  ici 10122   + caddc 10123   · cmul 10125  *cxr 10257   < clt 10258  -cneg 10451   / cdiv 10868  2c2 11254  (,)cioo 12360  cre 14028  cim 14029  expce 14983  sincsin 14985  cosccos 14986  πcpi 14988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822
This theorem is referenced by:  asinsin  24810
  Copyright terms: Public domain W3C validator