Theorem asin1 24842

Description: The arcsine of 1 is π / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asin1	⊢ (arcsin‘1) = (π / 2)

Proof of Theorem asin1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10196	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		asinval 24830	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ → (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))))
4		ax-icn 10197	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	addid1i 10425	. . . . . 6 ⊢ (i + 0) = i
6	4	mulid1i 10244	. . . . . . 7 ⊢ (i · 1) = i
7		sq1 13165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
8	7	oveq2i 6804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − (1↑2)) = (1 − 1)
9		1m1e0 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
10	8, 9	eqtri 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − (1↑2)) = 0
11	10	fveq2i 6335	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘(1 − (1↑2))) = (√‘0)
12		sqrt0 14190	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘0) = 0
13	11, 12	eqtri 2793	. . . . . . 7 ⊢ (√‘(1 − (1↑2))) = 0
14	6, 13	oveq12i 6805	. . . . . 6 ⊢ ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (i + 0)
15		efhalfpi 24444	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · (π / 2))) = i
16	5, 14, 15	3eqtr4i 2803	. . . . 5 ⊢ ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (exp‘(i · (π / 2)))
17	16	fveq2i 6335	. . . 4 ⊢ (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (log‘(exp‘(i · (π / 2))))
18		halfpire 24437	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
19	18	recni 10254	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
20	4, 19	mulcli 10247	. . . . . 6 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
21		pipos 24433	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
22		pire 24431	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
23		lt0neg2 10737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
25	21, 24	mpbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ -π < 0
26		pirp 24434	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
27		rphalfcl 12061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ+
29		rpgt0 12047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (π / 2)
31	22	renegcli 10544	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
32		0re 10242	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
33	31, 32, 18	lttri 10365	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -π < (π / 2))
34	25, 30, 33	mp2an 672	. . . . . . 7 ⊢ -π < (π / 2)
35	20	addid2i 10426	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + (i · (π / 2))) = (i · (π / 2))
36	35	fveq2i 6335	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
37	32, 18	crimi 14141	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (π / 2)
38	36, 37	eqtr3i 2795	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
39	34, 38	breqtrri 4813	. . . . . 6 ⊢ -π < (ℑ‘(i · (π / 2)))
40		rphalflt 12063	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
41	26, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) < π
42	18, 22, 41	ltleii 10362	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ π
43	38, 42	eqbrtri 4807	. . . . . 6 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π
44		ellogrn 24527	. . . . . 6 ⊢ ((i · (π / 2)) ∈ ran log ↔ ((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · (π / 2))) ∧ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π))
45	20, 39, 43, 44	mpbir3an 1426	. . . . 5 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ran log
46		logef 24549	. . . . 5 ⊢ ((i · (π / 2)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2)))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2))
48	17, 47	eqtri 2793	. . 3 ⊢ (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (i · (π / 2))
49	48	oveq2i 6804	. 2 ⊢ (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))) = (-i · (i · (π / 2)))
50	4, 4	mulneg1i 10678	. . . . . 6 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
51		ixi 10858	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
52	51	negeqi 10476	. . . . . 6 ⊢ -(i · i) = --1
53		negneg1e1 11330	. . . . . 6 ⊢ --1 = 1
54	50, 52, 53	3eqtri 2797	. . . . 5 ⊢ (-i · i) = 1
55	54	oveq1i 6803	. . . 4 ⊢ ((-i · i) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
56		negicn 10484	. . . . 5 ⊢ -i ∈ ℂ
57	56, 4, 19	mulassi 10251	. . . 4 ⊢ ((-i · i) · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
58	55, 57	eqtr3i 2795	. . 3 ⊢ (1 · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
59	19	mulid2i 10245	. . 3 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
60	58, 59	eqtr3i 2795	. 2 ⊢ (-i · (i · (π / 2))) = (π / 2)
61	3, 49, 60	3eqtri 2797	1 ⊢ (arcsin‘1) = (π / 2)

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ran crn 5250  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  ℝcr 10137  0cc0 10138  1c1 10139  ici 10140   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276   ≤ cle 10277   − cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  2c2 11272  ℝ⁺crp 12035  ↑cexp 13067  ℑcim 14046  √csqrt 14181  expce 14998  πcpi 15003  logclog 24522  arcsincasin 24810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-asin 24813

This theorem is referenced by:  acos1  24843  reasinsin  24844  areacirc  33837