MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asin1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asin1 24842
Description: The arcsine of 1 is π / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asin1 (arcsin‘1) = (π / 2)

Proof of Theorem asin1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10196 . . 3 1 ∈ ℂ
2 asinval 24830 . . 3 (1 ∈ ℂ → (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))))
31, 2ax-mp 5 . 2 (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))))
4 ax-icn 10197 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
54addid1i 10425 . . . . . 6 (i + 0) = i
64mulid1i 10244 . . . . . . 7 (i · 1) = i
7 sq1 13165 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
87oveq2i 6804 . . . . . . . . . 10 (1 − (1↑2)) = (1 − 1)
9 1m1e0 11291 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
108, 9eqtri 2793 . . . . . . . . 9 (1 − (1↑2)) = 0
1110fveq2i 6335 . . . . . . . 8 (√‘(1 − (1↑2))) = (√‘0)
12 sqrt0 14190 . . . . . . . 8 (√‘0) = 0
1311, 12eqtri 2793 . . . . . . 7 (√‘(1 − (1↑2))) = 0
146, 13oveq12i 6805 . . . . . 6 ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (i + 0)
15 efhalfpi 24444 . . . . . 6 (exp‘(i · (π / 2))) = i
165, 14, 153eqtr4i 2803 . . . . 5 ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (exp‘(i · (π / 2)))
1716fveq2i 6335 . . . 4 (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (log‘(exp‘(i · (π / 2))))
18 halfpire 24437 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
1918recni 10254 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℂ
204, 19mulcli 10247 . . . . . 6 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
21 pipos 24433 . . . . . . . . 9 0 < π
22 pire 24431 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
23 lt0neg2 10737 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 < π ↔ -π < 0)
2521, 24mpbi 220 . . . . . . . 8 -π < 0
26 pirp 24434 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
27 rphalfcl 12061 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ+
29 rpgt0 12047 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 < (π / 2)
3122renegcli 10544 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
32 0re 10242 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
3331, 32, 18lttri 10365 . . . . . . . 8 ((-π < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -π < (π / 2))
3425, 30, 33mp2an 672 . . . . . . 7 -π < (π / 2)
3520addid2i 10426 . . . . . . . . 9 (0 + (i · (π / 2))) = (i · (π / 2))
3635fveq2i 6335 . . . . . . . 8 (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
3732, 18crimi 14141 . . . . . . . 8 (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (π / 2)
3836, 37eqtr3i 2795 . . . . . . 7 (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
3934, 38breqtrri 4813 . . . . . 6 -π < (ℑ‘(i · (π / 2)))
40 rphalflt 12063 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
4126, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 2) < π
4218, 22, 41ltleii 10362 . . . . . . 7 (π / 2) ≤ π
4338, 42eqbrtri 4807 . . . . . 6 (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π
44 ellogrn 24527 . . . . . 6 ((i · (π / 2)) ∈ ran log ↔ ((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · (π / 2))) ∧ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π))
4520, 39, 43, 44mpbir3an 1426 . . . . 5 (i · (π / 2)) ∈ ran log
46 logef 24549 . . . . 5 ((i · (π / 2)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2)))
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2))
4817, 47eqtri 2793 . . 3 (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (i · (π / 2))
4948oveq2i 6804 . 2 (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))) = (-i · (i · (π / 2)))
504, 4mulneg1i 10678 . . . . . 6 (-i · i) = -(i · i)
51 ixi 10858 . . . . . . 7 (i · i) = -1
5251negeqi 10476 . . . . . 6 -(i · i) = --1
53 negneg1e1 11330 . . . . . 6 --1 = 1
5450, 52, 533eqtri 2797 . . . . 5 (-i · i) = 1
5554oveq1i 6803 . . . 4 ((-i · i) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
56 negicn 10484 . . . . 5 -i ∈ ℂ
5756, 4, 19mulassi 10251 . . . 4 ((-i · i) · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
5855, 57eqtr3i 2795 . . 3 (1 · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
5919mulid2i 10245 . . 3 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
6058, 59eqtr3i 2795 . 2 (-i · (i · (π / 2))) = (π / 2)
613, 49, 603eqtri 2797 1 (arcsin‘1) = (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139  ici 10140   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  2c2 11272  +crp 12035  cexp 13067  cim 14046  csqrt 14181  expce 14998  πcpi 15003  logclog 24522  arcsincasin 24810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-asin 24813
This theorem is referenced by:  acos1  24843  reasinsin  24844  areacirc  33837
  Copyright terms: Public domain W3C validator