Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclghm 19553
 Description: The algebra scalars function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclf.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclf.r (𝜑𝑊 ∈ Ring)
asclf.l (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
asclghm (𝜑𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Proof of Theorem asclghm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . 2 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2 eqid 2771 . 2 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 eqid 2771 . 2 (+g𝐹) = (+g𝐹)
4 eqid 2771 . 2 (+g𝑊) = (+g𝑊)
5 asclf.l . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 asclf.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
76lmodring 19081 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
9 ringgrp 18760 . . 3 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
11 asclf.r . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
12 ringgrp 18760 . . 3 (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
1311, 12syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
14 asclf.a . . 3 𝐴 = (algSc‘𝑊)
1514, 6, 11, 5, 1, 2asclf 19552 . 2 (𝜑𝐴:(Base‘𝐹)⟶(Base‘𝑊))
165adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑊 ∈ LMod)
17 simprl 754 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
18 simprr 756 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
19 eqid 2771 . . . . . . 7 (1r𝑊) = (1r𝑊)
202, 19ringidcl 18776 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2111, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2221adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
23 eqid 2771 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
242, 4, 6, 23, 1, 3lmodvsdir 19097 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(+g𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(+g𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
2516, 17, 18, 22, 24syl13anc 1478 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(+g𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(+g𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
261, 3grpcl 17638 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
27263expb 1113 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
2810, 27sylan 569 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
2914, 6, 1, 23, 19asclval 19550 . . . 4 ((𝑥(+g𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(𝑥(+g𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3028, 29syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3114, 6, 1, 23, 19asclval 19550 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴𝑥) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3214, 6, 1, 23, 19asclval 19550 . . . . 5 (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴𝑦) = (𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3331, 32oveqan12d 6812 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴𝑥)(+g𝑊)(𝐴𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(+g𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
3433adantl 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝐴𝑥)(+g𝑊)(𝐴𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(+g𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
3525, 30, 343eqtr4d 2815 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g𝐹)𝑦)) = ((𝐴𝑥)(+g𝑊)(𝐴𝑦)))
361, 2, 3, 4, 10, 13, 15, 35isghmd 17877 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  Grpcgrp 17630   GrpHom cghm 17865  1rcur 18709  Ringcrg 18755  LModclmod 19073  algSccascl 19526 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-ghm 17866  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-ascl 19529 This theorem is referenced by:  asclinvg  19556  asclrhm  19557  cpmatacl  20741  cpmatinvcl  20742  mat2pmatghm  20755  mat2pmatmul  20756
 Copyright terms: Public domain W3C validator