Theorem ascl1 42684

Description: The scalar 1 embedded into a left module corresponds to the 1 of the left module if the left module is also a ring. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascl0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascl0.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ascl1	⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))

Proof of Theorem ascl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ascl0.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		ascl0.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 19080	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
5		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
7	5, 6	ringidcl 18775	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
9		ascl0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
10		eqid 2770	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
12	9, 2, 5, 10, 11	asclval 19549	. . 3 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
13	8, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
14		ascl0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
15		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16	15, 11	ringidcl 18775	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
17	14, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
18	15, 2, 10, 6	lmodvs1 19100	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
19	1, 17, 18	syl2anc 565	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
20	13, 19	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  Scalarcsca 16151   ·_𝑠 cvsca 16152  1_rcur 18708  Ringcrg 18754  LModclmod 19072  algSccascl 19525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-lmod 19074  df-ascl 19528

This theorem is referenced by:  assaascl1  42686