MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arisum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arisum2 14574
Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
arisum2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum2
StepHypRef Expression
1 elnn0 11279 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nnm1nn0 11319 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
3 nn0uz 11707 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
42, 3syl6eleq 2709 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
5 elfznn0 12417 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11338 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
94, 7, 8fsum1p 14463 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘))
10 1e0p1 11537 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
1110oveq1i 6645 . . . . . . . 8 (1...(𝑁 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 − 1))
1211sumeq1i 14409 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘
1312oveq2i 6646 . . . . . 6 (0 + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘) = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘)
14 fzfid 12755 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
15 elfznn 12355 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1716nncnd 11021 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
1814, 17fsumcl 14445 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 ∈ ℂ)
1918addid2d 10222 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘)
2013, 19syl5eqr 2668 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘)
21 arisum 14573 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = ((((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) / 2))
222, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = ((((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) / 2))
23 nncn 11013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24232timesd 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
2524oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) − (𝑁 + 𝑁)))
2623sqcld 12989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
2726, 23, 23subsub4d 10408 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁↑2) − (𝑁 + 𝑁)))
2825, 27eqtr4d 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) = (((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁))
2928oveq1d 6650 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) + 1) = ((((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁) + 1))
30 binom2sub1 12965 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1)↑2) = (((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) + 1))
3123, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)↑2) = (((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) + 1))
3226, 23subcld 10377 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
33 1cnd 10041 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3432, 23, 33subsubd 10405 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)) = ((((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁) + 1))
3529, 31, 343eqtr4d 2664 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)↑2) = (((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)))
3635oveq1d 6650 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) = ((((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
37 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
38 subcl 10265 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3923, 37, 38sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4032, 39npcand 10381 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = ((𝑁↑2) − 𝑁))
4136, 40eqtrd 2654 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) = ((𝑁↑2) − 𝑁))
4241oveq1d 6650 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) / 2) = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
4322, 42eqtrd 2654 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
4420, 43eqtrd 2654 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘) = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
459, 44eqtrd 2654 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
46 oveq1 6642 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
4746oveq2d 6651 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (0...(𝑁 − 1)) = (0...(0 − 1)))
48 0re 10025 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
49 ltm1 10848 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 − 1) < 0
51 0z 11373 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
52 peano2zm 11405 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 − 1) ∈ ℤ
54 fzn 12342 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅))
5551, 53, 54mp2an 707 . . . . . . . 8 ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅)
5650, 55mpbi 220 . . . . . . 7 (0...(0 − 1)) = ∅
5747, 56syl6eq 2670 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (0...(𝑁 − 1)) = ∅)
5857sumeq1d 14412 . . . . 5 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
59 sum0 14433 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
6058, 59syl6eq 2670 . . . 4 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = 0)
61 sq0i 12939 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
62 id 22 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
6361, 62oveq12d 6653 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) = (0 − 0))
64 0m0e0 11115 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
6563, 64syl6eq 2670 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) = 0)
6665oveq1d 6650 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2) = (0 / 2))
67 2cn 11076 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
68 2ne0 11098 . . . . . 6 2 ≠ 0
6967, 68div0i 10744 . . . . 5 (0 / 2) = 0
7066, 69syl6eq 2670 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2) = 0)
7160, 70eqtr4d 2657 . . 3 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
7245, 71jaoi 394 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
731, 72sylbi 207 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  c0 3907   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   < clt 10059  cmin 10251   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  0cn0 11277  cz 11362  cuz 11672  ...cfz 12311  cexp 12843  Σcsu 14397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  24661
  Copyright terms: Public domain W3C validator