Theorem argimlt0 24558

Description: Closure of the argument of a complex number with negative imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argimlt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))

Proof of Theorem argimlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < 0)
2	1	lt0ne0d 10785	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
3		fveq2 6352	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
4		im0 14092	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
5	3, 4	syl6eq 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
6	5	necon3i 2964	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝐴 ≠ 0)
8		logcl 24514	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
9	7, 8	syldan 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	9	imcld 14134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
11		logcj 24551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))
12	2, 11	syldan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))
13	12	fveq2d 6356	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) = (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))))
14	9	imcjd 14144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
15	13, 14	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
16		cjcl 14044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
18		imcl 14050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
19	18	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
20	19	lt0neg1d 10789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < -(ℑ‘𝐴)))
21	1, 20	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℑ‘𝐴))
22		imcj 14071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
23	22	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
24	21, 23	breqtrrd 4832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 < (ℑ‘(∗‘𝐴)))
25		argimgt0 24557	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(∗‘𝐴))) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∈ (0(,)π))
26	17, 24, 25	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∈ (0(,)π))
27		eliooord 12426	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∧ (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) < π))
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (0 < (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∧ (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) < π))
29	28	simprd 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) < π)
30	15, 29	eqbrtrrd 4828	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
31		pire 24409	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ
32		ltnegcon1 10721	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-(ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < (ℑ‘(log‘𝐴))))
33	10, 31, 32	sylancl 697	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-(ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < (ℑ‘(log‘𝐴))))
34	30, 33	mpbid 222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
35	28	simpld 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 < (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))))
36	35, 15	breqtrd 4830	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
37	10	lt0neg1d 10789	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < 0 ↔ 0 < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
38	36, 37	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0)
39	31	renegcli 10534	. . . 4 ⊢ -π ∈ ℝ
40	39	rexri 10289	. . 3 ⊢ -π ∈ ℝ*
41		0xr 10278	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
42		elioo2 12409	. . 3 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0)))
43	40, 41, 42	mp2an 710	. 2 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
44	10, 34, 38, 43	syl3anbrc 1429	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  ℝ^*cxr 10265   < clt 10266  -cneg 10459  (,)cioo 12368  ∗ccj 14035  ℑcim 14037  πcpi 14996  logclog 24500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502

This theorem is referenced by:  logcnlem3  24589  atanlogaddlem  24839