Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  arearect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arearect 38220
Description: The area of a rectangle whose sides are parallel to the coordinate axes in (ℝ × ℝ) is its width multiplied by its height. (Contributed by Jon Pennant, 19-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
arearect.1 𝐴 ∈ ℝ
arearect.2 𝐵 ∈ ℝ
arearect.3 𝐶 ∈ ℝ
arearect.4 𝐷 ∈ ℝ
arearect.5 𝐴𝐵
arearect.6 𝐶𝐷
arearect.7 𝑆 = ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷))
Assertion
Ref Expression
arearect (area‘𝑆) = ((𝐵𝐴) · (𝐷𝐶))

Proof of Theorem arearect
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 arearect.7 . . . . 5 𝑆 = ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷))
2 arearect.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
3 arearect.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
4 iccssre 12369 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
52, 3, 4mp2an 710 . . . . . 6 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
6 arearect.3 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℝ
7 arearect.4 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℝ
8 iccssre 12369 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
96, 7, 8mp2an 710 . . . . . 6 (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ
10 xpss12 5233 . . . . . 6 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) ⊆ (ℝ × ℝ))
115, 9, 10mp2an 710 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) ⊆ (ℝ × ℝ)
121, 11eqsstri 3741 . . . 4 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ)
13 iftrue 4200 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (𝐷𝐶))
141imaeq1i 5573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 “ {𝑥}) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥})
15 iftrue 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (𝐶[,]𝐷))
16 xpimasn 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}) = (𝐶[,]𝐷))
1715, 16eqtr4d 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}))
18 iffalse 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = ∅)
19 disjsn 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴[,]𝐵) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
20 xpima1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴[,]𝐵) ∩ {𝑥}) = ∅ → (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}) = ∅)
2119, 20sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}) = ∅)
2218, 21eqtr4d 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}))
2317, 22pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥})
2414, 23eqtr4i 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 “ {𝑥}) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅)
2524fveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (vol‘if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅))
2615fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅)) = (vol‘(𝐶[,]𝐷)))
2725, 26syl5eq 2770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (vol‘(𝐶[,]𝐷)))
28 iccmbl 23455 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐷) ∈ dom vol)
296, 7, 28mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶[,]𝐷) ∈ dom vol
30 mblvol 23419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶[,]𝐷) ∈ dom vol → (vol‘(𝐶[,]𝐷)) = (vol*‘(𝐶[,]𝐷)))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(𝐶[,]𝐷)) = (vol*‘(𝐶[,]𝐷))
32 arearect.6 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶𝐷
33 ovolicc 23412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐷) → (vol*‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐷𝐶))
346, 7, 32, 33mp3an 1537 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐷𝐶)
3531, 34eqtri 2746 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐷𝐶)
3627, 35syl6eq 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (𝐷𝐶))
3713, 36eqtr4d 2761 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥})))
38 iffalse 4203 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = 0)
3918fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅)) = (vol‘∅))
4025, 39syl5eq 2770 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (vol‘∅))
41 0mbl 23428 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ dom vol
42 mblvol 23419 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
44 ovol0 23382 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*‘∅) = 0
4543, 44eqtri 2746 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘∅) = 0
4640, 45syl6eq 2774 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = 0)
4738, 46eqtr4d 2761 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥})))
4837, 47pm2.61i 176 . . . . . . . . 9 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))
4948eqcomi 2733 . . . . . . . 8 (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0)
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0))
517, 6resubcli 10456 . . . . . . . 8 (𝐷𝐶) ∈ ℝ
52 0re 10153 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
5351, 52keepel 4263 . . . . . . 7 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) ∈ ℝ
5450, 53syl6eqel 2811 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
55 volf 23418 . . . . . . . 8 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
56 ffun 6161 . . . . . . . 8 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → Fun vol)
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun vol
5829, 41keepel 4263 . . . . . . . 8 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) ∈ dom vol
5924, 58eqeltri 2799 . . . . . . 7 (𝑆 “ {𝑥}) ∈ dom vol
60 fvimacnv 6447 . . . . . . 7 ((Fun vol ∧ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ dom vol) → ((vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ ↔ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ)))
6157, 59, 60mp2an 710 . . . . . 6 ((vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ ↔ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ))
6254, 61sylib 208 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ))
6362rgen 3024 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ)
645a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65 rembl 23429 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
6665a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → ℝ ∈ dom vol)
6736, 51syl6eqel 2811 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
6867adantl 473 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
69 eldifn 3841 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7069, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = 0)
7170adantl 473 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = 0)
7236mpteq2ia 4848 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶))
7351recni 10165 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝐶) ∈ ℂ
74 ax-resscn 10106 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
755, 74sstri 3718 . . . . . . . . . 10 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ
76 ssid 3730 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
77 cncfmptc 22836 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7873, 75, 76, 77mp3an 1537 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
79 cniccibl 23727 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ 𝐿1)
802, 3, 78, 79mp3an 1537 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ 𝐿1
8172, 80eqeltri 2799 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1
8281a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1)
8364, 66, 68, 71, 82iblss2 23692 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1)
8452, 83ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1
85 dmarea 24804 . . . 4 (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
8612, 63, 84, 85mpbir3an 1381 . . 3 𝑆 ∈ dom area
87 areaval 24811 . . 3 (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)
8886, 87ax-mp 5 . 2 (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥
89 itgeq2 23664 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) → ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥)
9089, 50mprg 3028 . . 3 ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥
91 iccmbl 23455 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)
922, 3, 91mp2an 710 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol
93 mblvol 23419 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . 7 (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵))
95 arearect.5 . . . . . . . 8 𝐴𝐵
96 ovolicc 23412 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
972, 3, 95, 96mp3an 1537 . . . . . . 7 (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴)
9894, 97eqtri 2746 . . . . . 6 (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴)
993, 2resubcli 10456 . . . . . 6 (𝐵𝐴) ∈ ℝ
10098, 99eqeltri 2799 . . . . 5 (vol‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ
101 itgconst 23705 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℂ) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (vol‘(𝐴[,]𝐵))))
10292, 100, 73, 101mp3an 1537 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
103 itgss2 23699 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥)
1045, 103ax-mp 5 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥
10598oveq2i 6776 . . . 4 ((𝐷𝐶) · (vol‘(𝐴[,]𝐵))) = ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴))
106102, 104, 1053eqtr3i 2754 . . 3 ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴))
10790, 106eqtri 2746 . 2 ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴))
10899recni 10165 . . 3 (𝐵𝐴) ∈ ℂ
10973, 108mulcomi 10159 . 2 ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) · (𝐷𝐶))
11088, 107, 1093eqtri 2750 1 (area‘𝑆) = ((𝐵𝐴) · (𝐷𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  cdif 3677  cin 3679  wss 3680  c0 4023  ifcif 4194  {csn 4285   class class class wbr 4760  cmpt 4837   × cxp 5216  ccnv 5217  dom cdm 5218  cima 5221  Fun wfun 5995  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049   · cmul 10054  +∞cpnf 10184  cle 10188  cmin 10379  [,]cicc 12292  cnccncf 22801  vol*covol 23352  volcvol 23353  𝐿1cibl 23506  citg 23507  areacarea 24802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cc 9370  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-disj 4729  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-ofr 7015  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-cmp 21313  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-ovol 23354  df-vol 23355  df-mbf 23508  df-itg1 23509  df-itg2 23510  df-ibl 23511  df-itg 23512  df-0p 23557  df-area 24803
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator