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Theorem areacirc 33476
Description: The area of a circle of radius 𝑅 is π · 𝑅↑2. This is Metamath 100 proof #9. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 22-Sep-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
areacirc.1 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))}
Assertion
Ref Expression
areacirc ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = (π · (𝑅↑2)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem areacirc
Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 areacirc.1 . . . . . 6 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))}
2 opabssxp 5183 . . . . . 6 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))} ⊆ (ℝ × ℝ)
31, 2eqsstri 3627 . . . . 5 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ)
43a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ))
51areacirclem5 33475 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
6 resqcl 12914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
763ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
8 resqcl 12914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
983ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
107, 9resubcld 10443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
12 absresq 14023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
13123ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
1413breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
15 recn 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
1615abscld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
17163ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
18 simp1 1059 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
1915absge0d 14164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
20193ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
21 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
2217, 18, 20, 21le2sqd 13027 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
237, 9subge0d 10602 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
2414, 22, 233bitr4d 300 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
2524biimpa 501 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
2611, 25resqrtcld 14137 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
2726renegcld 10442 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
28 iccmbl 23315 . . . . . . . . . 10 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
2927, 26, 28syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
30 mblvol 23279 . . . . . . . . . . . 12 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
3211, 25sqrtge0d 14140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
3326, 26, 32, 32addge0d 10588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
34 recn 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
3534sqcld 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
36353ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
3715sqcld 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
38373ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
3936, 38subcld 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
4039sqrtcld 14157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
4241, 41subnegd 10384 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4342breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
4426, 27subge0d 10602 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4543, 44bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4633, 45mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
47 ovolicc 23272 . . . . . . . . . . . 12 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4827, 26, 46, 47syl3anc 1324 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4931, 48eqtrd 2654 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
5026, 27resubcld 10443 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ℝ)
5149, 50eqeltrd 2699 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ)
52 volf 23278 . . . . . . . . . 10 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
53 ffn 6032 . . . . . . . . . 10 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
54 elpreima 6323 . . . . . . . . . 10 (vol Fn dom vol → ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (vol “ ℝ) ↔ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ)))
5552, 53, 54mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (vol “ ℝ) ↔ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ))
5629, 51, 55sylanbrc 697 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (vol “ ℝ))
57 0mbl 23288 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ dom vol
58 mblvol 23279 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
60 ovol0 23242 . . . . . . . . . . . 12 (vol*‘∅) = 0
6159, 60eqtri 2642 . . . . . . . . . . 11 (vol‘∅) = 0
62 0re 10025 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
6361, 62eqeltri 2695 . . . . . . . . . 10 (vol‘∅) ∈ ℝ
64 elpreima 6323 . . . . . . . . . . 11 (vol Fn dom vol → (∅ ∈ (vol “ ℝ) ↔ (∅ ∈ dom vol ∧ (vol‘∅) ∈ ℝ)))
6552, 53, 64mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ (vol “ ℝ) ↔ (∅ ∈ dom vol ∧ (vol‘∅) ∈ ℝ))
6657, 63, 65mpbir2an 954 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ (vol “ ℝ)
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ∅ ∈ (vol “ ℝ))
6856, 67ifclda 4111 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) ∈ (vol “ ℝ))
695, 68eqeltrd 2699 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ))
70693expa 1263 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ))
7170ralrimiva 2963 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ))
725fveq2d 6182 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
73723expa 1263 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
7473mpteq2dva 4735 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))))
75 renegcl 10329 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ)
7675adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → -𝑅 ∈ ℝ)
77 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
78 iccssre 12240 . . . . . . 7 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
7976, 77, 78syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
80 rembl 23289 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
8180a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ℝ ∈ dom vol)
82 fvexd 6190 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) ∈ V)
83 eldif 3577 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
84 3anass 1040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅))))
86753ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → -𝑅 ∈ ℝ)
87 elicc2 12223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
8886, 18, 87syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
89 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
9089, 18absled 14150 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
9189biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅))))
9290, 91bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅))))
9385, 88, 923bitr4rd 301 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
9493biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
9594con3d 148 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
96953expia 1265 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)))
9796impd 447 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
9883, 97syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
9998imp 445 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅))) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
100 iffalse 4086 . . . . . . . . 9 (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) = ∅)
101100fveq2d 6182 . . . . . . . 8 (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘∅))
102101, 61syl6eq 2670 . . . . . . 7 (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
10399, 102syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅))) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
10476, 77, 87syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
10590biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
106105expd 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)))
1071063expia 1265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))))
1081073impd 1279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
109104, 108sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
1101093impia 1259 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
111 iftrue 4083 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) = (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
112111fveq2d 6182 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
113110, 112syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
11463ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
11575, 78mpancom 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
116115sselda 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
1171163adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
118117resqcld 13018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
119114, 118resubcld 10443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
12075, 87mpancom 702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
121120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
12222, 90, 143bitr3rd 299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2) ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
12323, 122bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
124123biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
125124expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
1261253expia 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
1271263impd 1279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
128121, 127sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
1291283impia 1259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
130119, 129resqrtcld 14137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
131130renegcld 10442 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
132131, 130, 28syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
133132, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
134119recnd 10053 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
135134sqrtcld 14157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
136135, 135subnegd 10384 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
137119, 129sqrtge0d 14140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
138130, 130, 137, 137addge0d 10588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
139136breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
140130, 131subge0d 10602 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
141139, 140bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
142138, 141mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
143131, 130, 142, 47syl3anc 1324 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
1441352timesd 11260 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
145136, 143, 1443eqtr4d 2664 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
146113, 133, 1453eqtrd 2658 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
1471463expa 1263 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
148147mpteq2dva 4735 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
149 areacirclem3 33473 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ 𝐿1)
150148, 149eqeltrd 2699 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) ∈ 𝐿1)
15179, 81, 82, 103, 150iblss2 23553 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) ∈ 𝐿1)
15274, 151eqeltrd 2699 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) ∈ 𝐿1)
153 dmarea 24665 . . . 4 (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) ∈ 𝐿1))
1544, 71, 152, 153syl3anbrc 1244 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑆 ∈ dom area)
155 areaval 24672 . . 3 (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
156154, 155syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
157 elioore 12190 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℝ)
15853expa 1263 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
159157, 158sylan2 491 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
160159fveq2d 6182 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
161160itgeq2dv 23529 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
162 ioossre 12220 . . . . 5 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ
163162a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ)
164 eldif 3577 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)))
16575rexrd 10074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ*)
166 rexr 10070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
167 elioo2 12201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
168165, 166, 167syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
1691683ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
17089biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅))))
17189, 18absltd 14149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
172 3anass 1040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅))))
174170, 171, 1733bitr4rd 301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (abs‘𝑡) < 𝑅))
175169, 174bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (abs‘𝑡) < 𝑅))
176175notbid 308 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ ¬ (abs‘𝑡) < 𝑅))
17718, 17lenltd 10168 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) < 𝑅))
178176, 177bitr4d 271 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)))
1795adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
180179fveq2d 6182 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
18117anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅))
182 eqle 10124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
183181, 182, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
184 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘𝑡) = 𝑅 → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑅↑2))
185184adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑅↑2))
18613adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
187185, 186eqtr3d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (𝑅↑2) = (𝑡↑2))
188 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) = ((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))
189188fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))))
190189negeqd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))))
191190, 189oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))))
1928recnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
193192subidd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ ℝ → ((𝑡↑2) − (𝑡↑2)) = 0)
194193fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 ∈ ℝ → (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘0))
195194negeqd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ ℝ → -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = -(√‘0))
196 sqrt0 13963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (√‘0) = 0
197196negeqi 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(√‘0) = -0
198 neg0 10312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -0 = 0
199197, 198eqtri 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -(√‘0) = 0
200195, 199syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ ℝ → -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = 0)
201194, 196syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ ℝ → (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = 0)
202200, 201oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ ℝ → (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
2032023ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
204191, 203sylan9eqr 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
205204fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol‘(0[,]0)))
206 iccmbl 23315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (0[,]0) ∈ dom vol)
20762, 62, 206mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0[,]0) ∈ dom vol
208 mblvol 23279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0[,]0) ∈ dom vol → (vol‘(0[,]0)) = (vol*‘(0[,]0)))
209207, 208ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (vol‘(0[,]0)) = (vol*‘(0[,]0))
210 0xr 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ ℝ*
211 iccid 12205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ ℝ* → (0[,]0) = {0})
212211fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℝ* → (vol*‘(0[,]0)) = (vol*‘{0}))
213210, 212ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (vol*‘(0[,]0)) = (vol*‘{0})
214 ovolsn 23244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℝ → (vol*‘{0}) = 0)
21562, 214ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (vol*‘{0}) = 0
216213, 215eqtri 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (vol*‘(0[,]0)) = 0
217209, 216eqtri 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (vol‘(0[,]0)) = 0
218205, 217syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = 0)
219187, 218syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = 0)
220183, 219eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
221220ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) = 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
222221adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → ((abs‘𝑡) = 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
22318, 17ltnled 10169 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
224223adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
225 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → 𝑅 ∈ ℝ)
22617adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
227 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑡))
228225, 226, 227leltned 10175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ (abs‘𝑡) ≠ 𝑅))
229224, 228bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑡) ≠ 𝑅))
230229, 102syl6bir 244 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → ((abs‘𝑡) ≠ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
231222, 230pm2.61dne 2877 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
232180, 231eqtrd 2654 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)
233232ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (abs‘𝑡) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
234178, 233sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
2352343expia 1265 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)))
236235impd 447 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
237164, 236syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
238237imp 445 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅))) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)
239163, 238itgss 23559 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
240 negeq 10258 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 0 → -𝑅 = -0)
241240, 198syl6eq 2670 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → -𝑅 = 0)
242 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → 𝑅 = 0)
243241, 242oveq12d 6653 . . . . . . . 8 (𝑅 = 0 → (-𝑅(,)𝑅) = (0(,)0))
244 iooid 12188 . . . . . . . 8 (0(,)0) = ∅
245243, 244syl6eq 2670 . . . . . . 7 (𝑅 = 0 → (-𝑅(,)𝑅) = ∅)
246245adantl 482 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → (-𝑅(,)𝑅) = ∅)
247 itgeq1 23520 . . . . . 6 ((-𝑅(,)𝑅) = ∅ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
248246, 247syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
249 itg0 23527 . . . . . 6 ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = 0
250 oveq1 6642 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → (𝑅↑2) = (0↑2))
251250oveq2d 6651 . . . . . . . 8 (𝑅 = 0 → (π · (𝑅↑2)) = (π · (0↑2)))
252 sq0 12938 . . . . . . . . . 10 (0↑2) = 0
253252oveq2i 6646 . . . . . . . . 9 (π · (0↑2)) = (π · 0)
254 picn 24192 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
255254mul01i 10211 . . . . . . . . 9 (π · 0) = 0
256253, 255eqtr2i 2643 . . . . . . . 8 0 = (π · (0↑2))
257251, 256syl6reqr 2673 . . . . . . 7 (𝑅 = 0 → 0 = (π · (𝑅↑2)))
258257adantl 482 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → 0 = (π · (𝑅↑2)))
259249, 258syl5eq 2666 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
260248, 259eqtrd 2654 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
261 simp1 1059 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
262 0red 10026 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ∈ ℝ)
263 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ 𝑅)
264262, 77, 263leltned 10175 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (0 < 𝑅𝑅 ≠ 0))
265264biimp3ar 1431 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≠ 0) → 0 < 𝑅)
266261, 265elrpd 11854 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2672663expa 1263 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
268157, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
269268adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
270 rpre 11824 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
271270adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
272270renegcld 10442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℝ)
273272rexrd 10074 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℝ*)
274 rpxr 11825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
275273, 274, 167syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
276 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
277270adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
278276, 277absltd 14149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
279278biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
280279exp4b 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → (abs‘𝑡) < 𝑅))))
2812803impd 1279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
282275, 281sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
283282imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) < 𝑅)
284269, 271, 283ltled 10170 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
285284, 112syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
286270resqcld 13018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
287286recnd 10053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
288287adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
289192adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
290288, 289subcld 10377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
291290sqrtcld 14157 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
292291, 291subnegd 10384 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
293157, 292sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
294286adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
2958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
296294, 295resubcld 10443 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
297157, 296sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
298 0red 10026 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ∈ ℝ)
29916adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
30019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
301 rpge0 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
302301adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
303299, 277, 300, 302lt2sqd 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2)))
30412adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
305304breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) < (𝑅↑2)))
306303, 278, 3053bitr3rd 299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < (𝑅↑2) ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
307295, 294posdifd 10599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
308306, 307bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
309308biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
310309exp4b 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
3113103impd 1279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
312275, 311sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
313312imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
314298, 297, 313ltled 10170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
315297, 314resqrtcld 14137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
316315renegcld 10442 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
317316, 315, 28syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
318317, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
319297, 314sqrtge0d 14140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
320315, 315, 319, 319addge0d 10588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
321293breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
322315, 316subge0d 10602 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
323321, 322bitr3d 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
324320, 323mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
325316, 315, 324, 47syl3anc 1324 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
326318, 325eqtrd 2654 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
327 ax-resscn 9978 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
328327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → ℝ ⊆ ℂ)
329272, 270, 78syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
330 rpcn 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℂ)
331330sqcld 12989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
332331adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
333329sselda 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑢 ∈ ℝ)
334333recnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑢 ∈ ℂ)
335330adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
336 rpne0 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ≠ 0)
337336adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
338334, 335, 337divcld 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑢 / 𝑅) ∈ ℂ)
339 asincl 24581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) ∈ ℂ)
340338, 339syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) ∈ ℂ)
341 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
342338sqcld 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑢 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
343341, 342subcld 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
344343sqrtcld 14157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
345338, 344mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
346340, 345addcld 10044 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) ∈ ℂ)
347332, 346mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ℂ)
348 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
349348tgioo2 22587 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
350 iccntr 22605 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-𝑅[,]𝑅)) = (-𝑅(,)𝑅))
351272, 270, 350syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-𝑅[,]𝑅)) = (-𝑅(,)𝑅))
352328, 329, 347, 349, 348, 351dvmptntr 23715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))))
353 areacirclem1 33471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
354352, 353eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
355354adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
356 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑡 → (𝑢↑2) = (𝑡↑2))
357356oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑡 → ((𝑅↑2) − (𝑢↑2)) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
358357fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑡 → (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
359358oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑡 → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
360359adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) ∧ 𝑢 = 𝑡) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
361 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅))
362 ovexd 6665 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ V)
363355, 360, 361, 362fvmptd 6275 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
364157, 291sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
3653642timesd 11260 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
366363, 365eqtrd 2654 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
367293, 326, 3663eqtr4rd 2665 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
368285, 367eqtr4d 2657 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡))
369368itgeq2dv 23529 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫(-𝑅(,)𝑅)((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) d𝑡)
370270, 270, 301, 301addge0d 10588 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑅 + 𝑅))
371330, 330subnegd 10384 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 − -𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
372371breq2d 4656 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (𝑅 − -𝑅) ↔ 0 ≤ (𝑅 + 𝑅)))
373270, 272subge0d 10602 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (𝑅 − -𝑅) ↔ -𝑅𝑅))
374372, 373bitr3d 270 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (𝑅 + 𝑅) ↔ -𝑅𝑅))
375370, 374mpbid 222 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅𝑅)
376 2cn 11076 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
377162, 327sstri 3604 . . . . . . . . . . 11 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ
378 ssid 3616 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
379376, 377, 3783pm3.2i 1237 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ ∧ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
380 cncfmptc 22695 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 2) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
381379, 380mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 2) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
382 ioossicc 12244 . . . . . . . . . . 11 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅)
383 resmpt 5437 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))))
384382, 383ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))
385 areacirclem2 33472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
386270, 301, 385syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
387 rescncf 22681 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ)))
388382, 386, 387mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
389384, 388syl5eqelr 2704 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
390381, 389mulcncf 23196 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
391354, 390eqeltrd 2699 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
392382a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅))
393 ioombl 23314 . . . . . . . . . . 11 (-𝑅(,)𝑅) ∈ dom vol
394393a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ∈ dom vol)
395 ovexd 6665 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ V)
396 areacirclem3 33473 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿1)
397392, 394, 395, 396iblss 23552 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿1)
398270, 301, 397syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿1)
399354, 398eqeltrd 2699 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) ∈ 𝐿1)
400 areacirclem4 33474 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
401272, 270, 375, 391, 399, 400ftc2nc 33465 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → ∫(-𝑅(,)𝑅)((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)))
402 eqidd 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))
403 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑅 → (𝑢 / 𝑅) = (𝑅 / 𝑅))
404403fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑅 → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) = (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)))
405403oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 𝑅 → ((𝑢 / 𝑅)↑2) = ((𝑅 / 𝑅)↑2))
406405oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑅 → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) = (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))
407406fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑅 → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))
408403, 407oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑅 → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))
409404, 408oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑅 → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))))
410409oveq2d 6651 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑅 → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
411410adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 = 𝑅) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
412 ubicc2 12274 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ -𝑅𝑅) → 𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
413273, 274, 375, 412syl3anc 1324 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
414 ovexd 6665 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))) ∈ V)
415402, 411, 413, 414fvmptd 6275 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
416330, 336dividd 10784 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 / 𝑅) = 1)
417416fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) = (arcsin‘1))
418 asin1 24602 . . . . . . . . . . . . 13 (arcsin‘1) = (π / 2)
419417, 418syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) = (π / 2))
420416oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅)↑2) = (1↑2))
421 sq1 12941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1↑2) = 1
422420, 421syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅)↑2) = 1)
423422oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)) = (1 − 1))
424 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
425424subidd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − 1) = 0)
426423, 425eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)) = 0)
427426fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))) = (√‘0))
428427, 196syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))) = 0)
429428oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑅 / 𝑅) · 0))
430330, 330, 336divcld 10786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 / 𝑅) ∈ ℂ)
431430mul01d 10220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅) · 0) = 0)
432429, 431eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))) = 0)
433419, 432oveq12d 6653 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))) = ((π / 2) + 0))
434 2ne0 11098 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
435254, 376, 434divcli 10752 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ ℂ
436435a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℂ)
437436addid1d 10221 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((π / 2) + 0) = (π / 2))
438433, 437eqtrd 2654 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))) = (π / 2))
439438oveq2d 6651 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · (π / 2)))
440415, 439eqtrd 2654 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) = ((𝑅↑2) · (π / 2)))
441 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = -𝑅 → (𝑢 / 𝑅) = (-𝑅 / 𝑅))
442441fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = -𝑅 → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) = (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)))
443441oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = -𝑅 → ((𝑢 / 𝑅)↑2) = ((-𝑅 / 𝑅)↑2))
444443oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = -𝑅 → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) = (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))
445444fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = -𝑅 → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))
446441, 445oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = -𝑅 → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) = ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))
447442, 446oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = -𝑅 → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))))
448447adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 = -𝑅) → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))))
449448oveq2d 6651 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 = -𝑅) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
450 lbicc2 12273 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ -𝑅𝑅) → -𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
451273, 274, 375, 450syl3anc 1324 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
452 ovexd 6665 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))) ∈ V)
453402, 449, 451, 452fvmptd 6275 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
454330, 330, 336divnegd 10799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → -(𝑅 / 𝑅) = (-𝑅 / 𝑅))
455416negeqd 10260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → -(𝑅 / 𝑅) = -1)
456454, 455eqtr3d 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅 / 𝑅) = -1)
457456fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) = (arcsin‘-1))
458 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
459 asinneg 24594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℂ → (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1))
460458, 459ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1)
461418negeqi 10259 . . . . . . . . . . . . . 14 -(arcsin‘1) = -(π / 2)
462460, 461eqtri 2642 . . . . . . . . . . . . 13 (arcsin‘-1) = -(π / 2)
463457, 462syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) = -(π / 2))
464456oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅)↑2) = (-1↑2))
465 neg1sqe1 12942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-1↑2) = 1
466464, 465syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅)↑2) = 1)
467466oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)) = (1 − 1))
468467, 425eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)) = 0)
469468fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))) = (√‘0))
470469, 196syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))) = 0)
471470oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))) = ((-𝑅 / 𝑅) · 0))
472272recnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℂ)
473472, 330, 336divcld 10786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅 / 𝑅) ∈ ℂ)
474473mul01d 10220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅) · 0) = 0)
475471, 474eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))) = 0)
476463, 475oveq12d 6653 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))) = (-(π / 2) + 0))
477435negcli 10334 . . . . . . . . . . . . 13 -(π / 2) ∈ ℂ
478477a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → -(π / 2) ∈ ℂ)
479478addid1d 10221 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-(π / 2) + 0) = -(π / 2))
480476, 479eqtrd 2654 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))) = -(π / 2))
481480oveq2d 6651 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · -(π / 2)))
482453, 481eqtrd 2654 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅) = ((𝑅↑2) · -(π / 2)))
483440, 482oveq12d 6653 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)) = (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))))
484435, 435subnegi 10345 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
485 pidiv2halves 24200 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) + (π / 2)) = π
486484, 485eqtri 2642 . . . . . . . . . 10 ((π / 2) − -(π / 2)) = π
487486a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((π / 2) − -(π / 2)) = π)
488487oveq2d 6651 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((π / 2) − -(π / 2))) = ((𝑅↑2) · π))
489331, 436, 478subdid 10471 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((π / 2) − -(π / 2))) = (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))))
490254a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → π ∈ ℂ)
491331, 490mulcomd 10046 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · π) = (π · (𝑅↑2)))
492488, 489, 4913eqtr3d 2662 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))) = (π · (𝑅↑2)))
493483, 492eqtrd 2654 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)) = (π · (𝑅↑2)))
494369, 401, 4933eqtrd 2658 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
495267, 494syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 ≠ 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
496260, 495pm2.61dane 2878 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
497161, 239, 4963eqtr3d 2662 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
498156, 497eqtrd 2654 1 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = (π · (𝑅↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  Vcvv 3195  cdif 3564  wss 3567  c0 3907  ifcif 4077  {csn 4168   class class class wbr 4644  {copab 4703  cmpt 4720   × cxp 5102  ccnv 5103  dom cdm 5104  ran crn 5105  cres 5106  cima 5107   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  +∞cpnf 10056  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  -cneg 10252   / cdiv 10669  2c2 11055  +crp 11817  (,)cioo 12160  [,]cicc 12163  cexp 12843  csqrt 13954  abscabs 13955  πcpi 14778  TopOpenctopn 16063  topGenctg 16079  fldccnfld 19727  intcnt 20802  cnccncf 22660  vol*covol 23212  volcvol 23213  𝐿1cibl 23367  citg 23368   D cdv 23608  arcsincasin 24570  areacarea 24663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-ofr 6883  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-ef 14779  df-sin 14781  df-cos 14782  df-tan 14783  df-pi 14784  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-cmp 21171  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-ovol 23214  df-vol 23215  df-mbf 23369  df-itg1 23370  df-itg2 23371  df-ibl 23372  df-itg 23373  df-0p 23418  df-limc 23611  df-dv 23612  df-log 24284  df-cxp 24285  df-asin 24573  df-area 24664
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