Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  areacirc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem areacirc 33837
Description: The area of a circle of radius 𝑅 is π · 𝑅↑2. This is Metamath 100 proof #9. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 22-Sep-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
areacirc.1 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))}
Assertion
Ref Expression
areacirc ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = (π · (𝑅↑2)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem areacirc
Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 areacirc.1 . . . . . 6 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))}
2 opabssxp 5333 . . . . . 6 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))} ⊆ (ℝ × ℝ)
31, 2eqsstri 3784 . . . . 5 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ)
43a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ))
51areacirclem5 33836 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
6 resqcl 13138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
763ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
8 resqcl 13138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
983ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
107, 9resubcld 10660 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
1110adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
12 absresq 14250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
13123ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
1413breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
15 recn 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
1615abscld 14383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
17163ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
18 simp1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
1915absge0d 14391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
20193ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
21 simp2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
2217, 18, 20, 21le2sqd 13251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
237, 9subge0d 10819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
2414, 22, 233bitr4d 300 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
2524biimpa 462 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
2611, 25resqrtcld 14364 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
2726renegcld 10659 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
28 iccmbl 23554 . . . . . . . . . 10 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
2927, 26, 28syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
30 mblvol 23518 . . . . . . . . . . . 12 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
3211, 25sqrtge0d 14367 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
3326, 26, 32, 32addge0d 10805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
34 recn 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
3534sqcld 13213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
36353ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
3715sqcld 13213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
38373ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
3936, 38subcld 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
4039sqrtcld 14384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
4140adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
4241, 41subnegd 10601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4342breq2d 4798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
4426, 27subge0d 10819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4543, 44bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4633, 45mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
47 ovolicc 23511 . . . . . . . . . . . 12 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4827, 26, 46, 47syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4931, 48eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
5026, 27resubcld 10660 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ℝ)
5149, 50eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ)
52 volf 23517 . . . . . . . . . 10 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
53 ffn 6185 . . . . . . . . . 10 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
54 elpreima 6480 . . . . . . . . . 10 (vol Fn dom vol → ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (vol “ ℝ) ↔ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ)))
5552, 53, 54mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (vol “ ℝ) ↔ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ))
5629, 51, 55sylanbrc 572 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (vol “ ℝ))
57 0mbl 23527 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ dom vol
58 mblvol 23518 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
60 ovol0 23481 . . . . . . . . . . . 12 (vol*‘∅) = 0
6159, 60eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 (vol‘∅) = 0
62 0re 10242 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
6361, 62eqeltri 2846 . . . . . . . . . 10 (vol‘∅) ∈ ℝ
64 elpreima 6480 . . . . . . . . . . 11 (vol Fn dom vol → (∅ ∈ (vol “ ℝ) ↔ (∅ ∈ dom vol ∧ (vol‘∅) ∈ ℝ)))
6552, 53, 64mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ (vol “ ℝ) ↔ (∅ ∈ dom vol ∧ (vol‘∅) ∈ ℝ))
6657, 63, 65mpbir2an 690 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ (vol “ ℝ)
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ∅ ∈ (vol “ ℝ))
6856, 67ifclda 4259 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) ∈ (vol “ ℝ))
695, 68eqeltrd 2850 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ))
70693expa 1111 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ))
7170ralrimiva 3115 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ))
725fveq2d 6336 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
73723expa 1111 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
7473mpteq2dva 4878 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))))
75 renegcl 10546 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ)
7675adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → -𝑅 ∈ ℝ)
77 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
78 iccssre 12460 . . . . . . 7 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
7976, 77, 78syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
80 rembl 23528 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
8180a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ℝ ∈ dom vol)
82 fvexd 6344 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) ∈ V)
83 eldif 3733 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
84 3anass 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅))))
86753ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → -𝑅 ∈ ℝ)
87 elicc2 12443 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
8886, 18, 87syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
89 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
9089, 18absled 14377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
9189biantrurd 522 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅))))
9290, 91bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅))))
9385, 88, 923bitr4rd 301 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
9493biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
9594con3d 149 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
96953expia 1114 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)))
9796impd 396 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
9883, 97syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
9998imp 393 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅))) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
100 iffalse 4234 . . . . . . . . 9 (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) = ∅)
101100fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘∅))
102101, 61syl6eq 2821 . . . . . . 7 (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
10399, 102syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅))) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
10476, 77, 87syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
10590biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
106105expd 400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)))
1071063expia 1114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))))
1081073impd 1441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
109104, 108sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
1101093impia 1109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
111 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) = (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
112111fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
113110, 112syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
11463ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
11575, 78mpancom 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
116115sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
1171163adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
118117resqcld 13242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
119114, 118resubcld 10660 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
12075, 87mpancom 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
121120adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
12222, 90, 143bitr3rd 299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2) ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
12323, 122bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
124123biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
125124expd 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
1261253expia 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
1271263impd 1441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
128121, 127sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
1291283impia 1109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
130119, 129resqrtcld 14364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
131130renegcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
132131, 130, 28syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
133132, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
134119recnd 10270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
135134sqrtcld 14384 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
136135, 135subnegd 10601 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
137119, 129sqrtge0d 14367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
138130, 130, 137, 137addge0d 10805 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
139136breq2d 4798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
140130, 131subge0d 10819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
141139, 140bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
142138, 141mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
143131, 130, 142, 47syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
1441352timesd 11477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
145136, 143, 1443eqtr4d 2815 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
146113, 133, 1453eqtrd 2809 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
1471463expa 1111 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
148147mpteq2dva 4878 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
149 areacirclem3 33834 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ 𝐿1)
150148, 149eqeltrd 2850 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) ∈ 𝐿1)
15179, 81, 82, 103, 150iblss2 23792 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) ∈ 𝐿1)
15274, 151eqeltrd 2850 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) ∈ 𝐿1)
153 dmarea 24905 . . . 4 (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) ∈ 𝐿1))
1544, 71, 152, 153syl3anbrc 1428 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑆 ∈ dom area)
155 areaval 24912 . . 3 (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
156154, 155syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
157 elioore 12410 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℝ)
15853expa 1111 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
159157, 158sylan2 580 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
160159fveq2d 6336 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
161160itgeq2dv 23768 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
162 ioossre 12440 . . . . 5 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ
163162a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ)
164 eldif 3733 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)))
16575rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ*)
166 rexr 10287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
167 elioo2 12421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
168165, 166, 167syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
1691683ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
17089biantrurd 522 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅))))
17189, 18absltd 14376 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
172 3anass 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅))))
174170, 171, 1733bitr4rd 301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (abs‘𝑡) < 𝑅))
175169, 174bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (abs‘𝑡) < 𝑅))
176175notbid 307 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ ¬ (abs‘𝑡) < 𝑅))
17718, 17lenltd 10385 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) < 𝑅))
178176, 177bitr4d 271 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)))
1795adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
180179fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
18117anim1i 602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅))
182 eqle 10341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
183181, 182, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
184 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘𝑡) = 𝑅 → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑅↑2))
185184adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑅↑2))
18613adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
187185, 186eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (𝑅↑2) = (𝑡↑2))
188 fvoveq1 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))))
189188negeqd 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))))
190189, 188oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))))
1918recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
192191subidd 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ ℝ → ((𝑡↑2) − (𝑡↑2)) = 0)
193192fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 ∈ ℝ → (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘0))
194193negeqd 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ ℝ → -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = -(√‘0))
195 sqrt0 14190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (√‘0) = 0
196195negeqi 10476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(√‘0) = -0
197 neg0 10529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -0 = 0
198196, 197eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -(√‘0) = 0
199194, 198syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ ℝ → -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = 0)
200193, 195syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ ℝ → (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = 0)
201199, 200oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ ℝ → (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
2022013ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
203190, 202sylan9eqr 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
204203fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol‘(0[,]0)))
205 iccmbl 23554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (0[,]0) ∈ dom vol)
20662, 62, 205mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0[,]0) ∈ dom vol
207 mblvol 23518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0[,]0) ∈ dom vol → (vol‘(0[,]0)) = (vol*‘(0[,]0)))
208206, 207ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (vol‘(0[,]0)) = (vol*‘(0[,]0))
209 0xr 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ ℝ*
210 iccid 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ ℝ* → (0[,]0) = {0})
211210fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℝ* → (vol*‘(0[,]0)) = (vol*‘{0}))
212209, 211ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (vol*‘(0[,]0)) = (vol*‘{0})
213 ovolsn 23483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℝ → (vol*‘{0}) = 0)
21462, 213ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (vol*‘{0}) = 0
215212, 214eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (vol*‘(0[,]0)) = 0
216208, 215eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (vol‘(0[,]0)) = 0
217204, 216syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = 0)
218187, 217syldan 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = 0)
219183, 218eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
220219ex 397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) = 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
221220adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → ((abs‘𝑡) = 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
22218, 17ltnled 10386 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
223222adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
224 simpl1 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → 𝑅 ∈ ℝ)
22517adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
226 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑡))
227224, 225, 226leltned 10392 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ (abs‘𝑡) ≠ 𝑅))
228223, 227bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑡) ≠ 𝑅))
229228, 102syl6bir 244 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → ((abs‘𝑡) ≠ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
230221, 229pm2.61dne 3029 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
231180, 230eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)
232231ex 397 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (abs‘𝑡) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
233178, 232sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
2342333expia 1114 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)))
235234impd 396 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
236164, 235syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
237236imp 393 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅))) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)
238163, 237itgss 23798 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
239 negeq 10475 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 0 → -𝑅 = -0)
240239, 197syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → -𝑅 = 0)
241 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → 𝑅 = 0)
242240, 241oveq12d 6811 . . . . . . . 8 (𝑅 = 0 → (-𝑅(,)𝑅) = (0(,)0))
243 iooid 12408 . . . . . . . 8 (0(,)0) = ∅
244242, 243syl6eq 2821 . . . . . . 7 (𝑅 = 0 → (-𝑅(,)𝑅) = ∅)
245244adantl 467 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → (-𝑅(,)𝑅) = ∅)
246 itgeq1 23759 . . . . . 6 ((-𝑅(,)𝑅) = ∅ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
247245, 246syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
248 itg0 23766 . . . . . 6 ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = 0
249 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → (𝑅↑2) = (0↑2))
250249oveq2d 6809 . . . . . . . 8 (𝑅 = 0 → (π · (𝑅↑2)) = (π · (0↑2)))
251 sq0 13162 . . . . . . . . . 10 (0↑2) = 0
252251oveq2i 6804 . . . . . . . . 9 (π · (0↑2)) = (π · 0)
253 picn 24432 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
254253mul01i 10428 . . . . . . . . 9 (π · 0) = 0
255252, 254eqtr2i 2794 . . . . . . . 8 0 = (π · (0↑2))
256250, 255syl6reqr 2824 . . . . . . 7 (𝑅 = 0 → 0 = (π · (𝑅↑2)))
257256adantl 467 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → 0 = (π · (𝑅↑2)))
258248, 257syl5eq 2817 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
259247, 258eqtrd 2805 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
260 simp1 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
261 0red 10243 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ∈ ℝ)
262 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ 𝑅)
263261, 77, 262leltned 10392 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (0 < 𝑅𝑅 ≠ 0))
264263biimp3ar 1581 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≠ 0) → 0 < 𝑅)
265260, 264elrpd 12072 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2662653expa 1111 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
267157, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
268267adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
269 rpre 12042 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
270269adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
271269renegcld 10659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℝ)
272271rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℝ*)
273 rpxr 12043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
274272, 273, 167syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
275 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
276269adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
277275, 276absltd 14376 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
278277biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
279278exp4b 417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → (abs‘𝑡) < 𝑅))))
2802793impd 1441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
281274, 280sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
282281imp 393 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) < 𝑅)
283268, 270, 282ltled 10387 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
284283, 112syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
285269resqcld 13242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
286285recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
287286adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
288191adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
289287, 288subcld 10594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
290289sqrtcld 14384 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
291290, 290subnegd 10601 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
292157, 291sylan2 580 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
293285adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
2948adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
295293, 294resubcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
296157, 295sylan2 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
297 0red 10243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ∈ ℝ)
29816adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
29919adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
300 rpge0 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
301300adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
302298, 276, 299, 301lt2sqd 13250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2)))
30312adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
304303breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) < (𝑅↑2)))
305302, 277, 3043bitr3rd 299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < (𝑅↑2) ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
306294, 293posdifd 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
307305, 306bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
308307biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
309308exp4b 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
3103093impd 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
311274, 310sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
312311imp 393 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
313297, 296, 312ltled 10387 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
314296, 313resqrtcld 14364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
315314renegcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
316315, 314, 28syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
317316, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
318296, 313sqrtge0d 14367 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
319314, 314, 318, 318addge0d 10805 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
320292breq2d 4798 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
321314, 315subge0d 10819 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
322320, 321bitr3d 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
323319, 322mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
324315, 314, 323, 47syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
325317, 324eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
326 ax-resscn 10195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
327326a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → ℝ ⊆ ℂ)
328271, 269, 78syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
329 rpcn 12044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℂ)
330329sqcld 13213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
331330adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
332328sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑢 ∈ ℝ)
333332recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑢 ∈ ℂ)
334329adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
335 rpne0 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ≠ 0)
336335adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
337333, 334, 336divcld 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑢 / 𝑅) ∈ ℂ)
338 asincl 24821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) ∈ ℂ)
339337, 338syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) ∈ ℂ)
340 1cnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
341337sqcld 13213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑢 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
342340, 341subcld 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
343342sqrtcld 14384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
344337, 343mulcld 10262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
345339, 344addcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) ∈ ℂ)
346331, 345mulcld 10262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ℂ)
347 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
348347tgioo2 22826 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
349 iccntr 22844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-𝑅[,]𝑅)) = (-𝑅(,)𝑅))
350271, 269, 349syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-𝑅[,]𝑅)) = (-𝑅(,)𝑅))
351327, 328, 346, 348, 347, 350dvmptntr 23954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))))
352 areacirclem1 33832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
353351, 352eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
354353adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
355 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑡 → (𝑢↑2) = (𝑡↑2))
356355oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑡 → ((𝑅↑2) − (𝑢↑2)) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
357356fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑡 → (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
358357oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑡 → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
359358adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) ∧ 𝑢 = 𝑡) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
360 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅))
361 ovexd 6825 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ V)
362354, 359, 360, 361fvmptd 6430 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
363157, 290sylan2 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
3643632timesd 11477 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
365362, 364eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
366292, 325, 3653eqtr4rd 2816 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
367284, 366eqtr4d 2808 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡))
368367itgeq2dv 23768 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫(-𝑅(,)𝑅)((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) d𝑡)
369269, 269, 300, 300addge0d 10805 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑅 + 𝑅))
370329, 329subnegd 10601 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 − -𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
371370breq2d 4798 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (𝑅 − -𝑅) ↔ 0 ≤ (𝑅 + 𝑅)))
372269, 271subge0d 10819 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (𝑅 − -𝑅) ↔ -𝑅𝑅))
373371, 372bitr3d 270 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (𝑅 + 𝑅) ↔ -𝑅𝑅))
374369, 373mpbid 222 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅𝑅)
375 2cn 11293 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
376162, 326sstri 3761 . . . . . . . . . . 11 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ
377 ssid 3773 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
378375, 376, 3773pm3.2i 1423 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ ∧ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
379 cncfmptc 22934 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 2) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
380378, 379mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 2) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
381 ioossicc 12464 . . . . . . . . . . 11 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅)
382 resmpt 5590 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))))
383381, 382ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))
384 areacirclem2 33833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
385269, 300, 384syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
386 rescncf 22920 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ)))
387381, 385, 386mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
388383, 387syl5eqelr 2855 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
389380, 388mulcncf 23434 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
390353, 389eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
391381a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅))
392 ioombl 23553 . . . . . . . . . . 11 (-𝑅(,)𝑅) ∈ dom vol
393392a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ∈ dom vol)
394 ovexd 6825 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ V)
395 areacirclem3 33834 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿1)
396391, 393, 394, 395iblss 23791 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿1)
397269, 300, 396syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿1)
398353, 397eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) ∈ 𝐿1)
399 areacirclem4 33835 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
400271, 269, 374, 390, 398, 399ftc2nc 33826 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → ∫(-𝑅(,)𝑅)((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)))
401 eqidd 2772 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))
402 fvoveq1 6816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑅 → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) = (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)))
403 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑅 → (𝑢 / 𝑅) = (𝑅 / 𝑅))
404403oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 𝑅 → ((𝑢 / 𝑅)↑2) = ((𝑅 / 𝑅)↑2))
405404oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑅 → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) = (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))
406405fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑅 → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))
407403, 406oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑅 → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))
408402, 407oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑅 → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))))
409408oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑅 → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
410409adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 = 𝑅) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
411 ubicc2 12496 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ -𝑅𝑅) → 𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
412272, 273, 374, 411syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
413 ovexd 6825 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))) ∈ V)
414401, 410, 412, 413fvmptd 6430 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
415329, 335dividd 11001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 / 𝑅) = 1)
416415fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) = (arcsin‘1))
417 asin1 24842 . . . . . . . . . . . . 13 (arcsin‘1) = (π / 2)
418416, 417syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) = (π / 2))
419415oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅)↑2) = (1↑2))
420 sq1 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1↑2) = 1
421419, 420syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅)↑2) = 1)
422421oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)) = (1 − 1))
423 1cnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
424423subidd 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − 1) = 0)
425422, 424eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)) = 0)
426425fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))) = (√‘0))
427426, 195syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))) = 0)
428427oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑅 / 𝑅) · 0))
429329, 329, 335divcld 11003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 / 𝑅) ∈ ℂ)
430429mul01d 10437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅) · 0) = 0)
431428, 430eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))) = 0)
432418, 431oveq12d 6811 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))) = ((π / 2) + 0))
433 2ne0 11315 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
434253, 375, 433divcli 10969 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ ℂ
435434a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℂ)
436435addid1d 10438 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((π / 2) + 0) = (π / 2))
437432, 436eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))) = (π / 2))
438437oveq2d 6809 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · (π / 2)))
439414, 438eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) = ((𝑅↑2) · (π / 2)))
440 fvoveq1 6816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = -𝑅 → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) = (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)))
441 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = -𝑅 → (𝑢 / 𝑅) = (-𝑅 / 𝑅))
442441oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = -𝑅 → ((𝑢 / 𝑅)↑2) = ((-𝑅 / 𝑅)↑2))
443442oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = -𝑅 → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) = (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))
444443fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = -𝑅 → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))
445441, 444oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = -𝑅 → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) = ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))
446440, 445oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = -𝑅 → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))))
447446adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 = -𝑅) → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))))
448447oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 = -𝑅) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
449 lbicc2 12495 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ -𝑅𝑅) → -𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
450272, 273, 374, 449syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
451 ovexd 6825 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))) ∈ V)
452401, 448, 450, 451fvmptd 6430 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
453329, 329, 335divnegd 11016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → -(𝑅 / 𝑅) = (-𝑅 / 𝑅))
454415negeqd 10477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → -(𝑅 / 𝑅) = -1)
455453, 454eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅 / 𝑅) = -1)
456455fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) = (arcsin‘-1))
457 ax-1cn 10196 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
458 asinneg 24834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℂ → (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1))
459457, 458ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1)
460417negeqi 10476 . . . . . . . . . . . . . 14 -(arcsin‘1) = -(π / 2)
461459, 460eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (arcsin‘-1) = -(π / 2)
462456, 461syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) = -(π / 2))
463455oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅)↑2) = (-1↑2))
464 neg1sqe1 13166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-1↑2) = 1
465463, 464syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅)↑2) = 1)
466465oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)) = (1 − 1))
467466, 424eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)) = 0)
468467fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))) = (√‘0))
469468, 195syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))) = 0)
470469oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))) = ((-𝑅 / 𝑅) · 0))
471271recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℂ)
472471, 329, 335divcld 11003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅 / 𝑅) ∈ ℂ)
473472mul01d 10437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅) · 0) = 0)
474470, 473eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))) = 0)
475462, 474oveq12d 6811 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))) = (-(π / 2) + 0))
476434negcli 10551 . . . . . . . . . . . . 13 -(π / 2) ∈ ℂ
477476a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → -(π / 2) ∈ ℂ)
478477addid1d 10438 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-(π / 2) + 0) = -(π / 2))
479475, 478eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))) = -(π / 2))
480479oveq2d 6809 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · -(π / 2)))
481452, 480eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅) = ((𝑅↑2) · -(π / 2)))
482439, 481oveq12d 6811 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)) = (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))))
483434, 434subnegi 10562 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
484 pidiv2halves 24440 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) + (π / 2)) = π
485483, 484eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 ((π / 2) − -(π / 2)) = π
486485a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((π / 2) − -(π / 2)) = π)
487486oveq2d 6809 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((π / 2) − -(π / 2))) = ((𝑅↑2) · π))
488330, 435, 477subdid 10688 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((π / 2) − -(π / 2))) = (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))))
489253a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → π ∈ ℂ)
490330, 489mulcomd 10263 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · π) = (π · (𝑅↑2)))
491487, 488, 4903eqtr3d 2813 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))) = (π · (𝑅↑2)))
492482, 491eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)) = (π · (𝑅↑2)))
493368, 400, 4923eqtrd 2809 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
494266, 493syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 ≠ 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
495259, 494pm2.61dane 3030 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
496161, 238, 4953eqtr3d 2813 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
497156, 496eqtrd 2805 1 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = (π · (𝑅↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  c0 4063  ifcif 4225  {csn 4316   class class class wbr 4786  {copab 4846  cmpt 4863   × cxp 5247  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  2c2 11272  +crp 12035  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  cexp 13067  csqrt 14181  abscabs 14182  πcpi 15003  TopOpenctopn 16290  topGenctg 16306  fldccnfld 19961  intcnt 21042  cnccncf 22899  vol*covol 23450  volcvol 23451  𝐿1cibl 23605  citg 23606   D cdv 23847  arcsincasin 24810  areacarea 24903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-tan 15008  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-cxp 24525  df-asin 24813  df-area 24904
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator