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Theorem archiabllem2c 30050
Description: Lemma for archiabl 30053. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1 + = (+g𝑊)
archiabllem2.2 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
archiabllem2b.4 (𝜑𝑋𝐵)
archiabllem2b.5 (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
archiabllem2c (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2c
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 813 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
2 simpl1l 1276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝜑)
3 archiabllem.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ oGrp)
5 simpl1r 1278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
63adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
7 ogrpgrp 30004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
9 archiabllem2b.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌𝐵)
109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑌𝐵)
11 archiabllem2b.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋𝐵)
1211adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑋𝐵)
13 archiabllem.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = (Base‘𝑊)
14 archiabllem2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 + = (+g𝑊)
1513, 14grpcl 17623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
168, 10, 12, 15syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
172, 5, 16syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
182, 3, 73syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ Grp)
19 simpr2 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℤ)
2019peano2zd 11669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
21 simp2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑡𝐵)
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑡𝐵)
23 archiabllem.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = (.g𝑊)
2413, 23mulgcl 17752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵) → ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
2518, 20, 22, 24syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
26 simpr1 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑛 ∈ ℤ)
2726peano2zd 11669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
2813, 23mulgcl 17752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
2918, 27, 22, 28syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
3013, 14grpcl 17623 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
3118, 25, 29, 30syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
32123ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑋𝐵)
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑋𝐵)
34103ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑌𝐵)
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑌𝐵)
3613, 14grpcl 17623 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
3718, 33, 35, 36syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
38 archiabllem.e . . . . . . . . . . . . . . 15 = (le‘𝑊)
39 isogrp 30003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
4039simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
412, 3, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ oMnd)
42 simpr3 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
4342simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡)))
4443simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))
4542simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
4645simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡))
47 archiabllem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
48 isogrp 30003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((oppg𝑊) ∈ oGrp ↔ ((oppg𝑊) ∈ Grp ∧ (oppg𝑊) ∈ oMnd))
4948simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((oppg𝑊) ∈ oGrp → (oppg𝑊) ∈ oMnd)
502, 47, 493syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (oppg𝑊) ∈ oMnd)
5113, 38, 14, 41, 29, 35, 33, 25, 44, 46, 50omndadd2rd 30010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑌 + 𝑋) (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
52 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-g𝑊) = (-g𝑊)
5313, 38, 52ogrpsub 30018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 + 𝑋) (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
544, 17, 31, 37, 51, 53syl131anc 1486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
5519zcnd 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℂ)
5626zcnd 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑛 ∈ ℂ)
57 1cnd 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 1 ∈ ℂ)
5855, 56, 57, 57add4d 10448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)))
59 1p1e2 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 + 1) = 2
6059oveq2i 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑚 + 𝑛) + 2)
61 addcom 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑛) = (𝑛 + 𝑚))
6261oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + 2) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
6360, 62syl5eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
64 2cnd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
65 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 𝑛 ∈ ℂ)
66 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 𝑚 ∈ ℂ)
6765, 66addcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℂ)
6864, 67addcomd 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 + (𝑛 + 𝑚)) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
6963, 68eqtr4d 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
7055, 56, 69syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
7158, 70eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
7271oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡))
73 2z 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 2 ∈ ℤ)
7526, 19zaddcld 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ)
7613, 23, 14mulgdir 17766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵)) → ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
7718, 74, 75, 22, 76syl13anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
7872, 77eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
7913, 23, 14mulgdir 17766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵)) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
8018, 20, 27, 22, 79syl13anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
8113, 23, 14mulg2 17743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡𝐵 → (2 · 𝑡) = (𝑡 + 𝑡))
8222, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (2 · 𝑡) = (𝑡 + 𝑡))
8382oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
8478, 80, 833eqtr3d 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
8584oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
8654, 85breqtrd 4822 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
8784, 31eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
88 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 (invg𝑊) = (invg𝑊)
8913, 14, 88, 52grpsubval 17658 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
9087, 37, 89syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
9186, 90breqtrd 4822 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
92 archiabllem.t . . . . . . . . . . . 12 < = (lt‘𝑊)
932, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
9413, 88grpinvcl 17660 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
9518, 37, 94syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
9675znegcld 11668 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ)
9713, 23mulgcl 17752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
9818, 96, 22, 97syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
9913, 23, 14mulgdir 17766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵)) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)))
10018, 26, 19, 22, 99syl13anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)))
10113, 23mulgcl 17752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵) → (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵)
10218, 26, 22, 101syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵)
10313, 23mulgcl 17752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵) → (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵)
10418, 19, 22, 103syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵)
10545simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 · 𝑡) < 𝑋)
10613, 92, 14ogrpaddlt 30019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 · 𝑡) < 𝑋) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)))
1074, 102, 33, 104, 105, 106syl131anc 1486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)))
10843simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 · 𝑡) < 𝑌)
10913, 92, 14, 4, 93, 104, 35, 33, 108ogrpaddltrd 30021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌))
110 omndtos 30006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
111 tospos 29959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
11241, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ Poset)
11313, 14grpcl 17623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
11418, 102, 104, 113syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
11513, 14grpcl 17623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
11618, 33, 104, 115syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
11713, 92plttr 17163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Poset ∧ (((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)))
118112, 114, 116, 37, 117syl13anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)))
119107, 109, 118mp2and 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌))
120100, 119eqbrtrd 4818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌))
121100, 114eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
12213, 92, 88ogrpinvlt 30025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ oGrp ∧ (oppg𝑊) ∈ oGrp) ∧ ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌) ↔ ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
1234, 93, 121, 37, 122syl211anc 1479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌) ↔ ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
124120, 123mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
12513, 23, 88mulgneg 17753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((invg𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
12618, 75, 22, 125syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((invg𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
127124, 126breqtrrd 4824 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))
12813, 92, 14, 4, 93, 95, 98, 87, 127ogrpaddltrd 30021 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
12913, 52grpsubcl 17688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
13018, 17, 37, 129syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
13113, 14grpcl 17623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵)
13218, 87, 95, 131syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵)
13313, 14grpcl 17623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
13418, 87, 98, 133syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
13513, 38, 92plelttr 17165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Poset ∧ (((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)) → ((((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
136112, 130, 132, 134, 135syl13anc 1475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
13791, 128, 136mp2and 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
13813, 14grpcl 17623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑡𝐵𝑡𝐵) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
13918, 22, 22, 138syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
14013, 14grpass 17624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
14118, 139, 121, 98, 140syl13anc 1475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
14256, 55addcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℂ)
143142negidd 10566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) = 0)
144143oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
14513, 23, 14mulgdir 17766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵)) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
14618, 75, 96, 22, 145syl13anc 1475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
147 archiabllem.0 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0g𝑊)
14813, 147, 23mulg0 17739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝐵 → (0 · 𝑡) = 0 )
14922, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (0 · 𝑡) = 0 )
150144, 146, 1493eqtr3d 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = 0 )
151150oveq2d 6821 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) = ((𝑡 + 𝑡) + 0 ))
15213, 14, 147grprid 17646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵) → ((𝑡 + 𝑡) + 0 ) = (𝑡 + 𝑡))
15318, 139, 152syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + 0 ) = (𝑡 + 𝑡))
154141, 151, 1533eqtrd 2790 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = (𝑡 + 𝑡))
155137, 154breqtrd 4822 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
1561553anassrs 1449 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡)))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
15763ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ oGrp)
158 archiabllem.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
159158adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ Archi)
1601593ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Archi)
161 simp3 1132 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 0 < 𝑡)
16247adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
1631623ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
16413, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 32, 161, 163archirngz 30044 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
16513, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 34, 161, 163archirngz 30044 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡)))
166 reeanv 3237 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
167164, 165, 166sylanbrc 701 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
168156, 167r19.29vva 3211 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
169157, 40, 1103syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Toset)
1708, 12, 10, 36syl3anc 1473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
1718, 16, 170, 129syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
1721713ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
173157, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Grp)
174173, 21, 21, 138syl3anc 1473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
17513, 38, 92tltnle 29963 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Toset ∧ ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡) ↔ ¬ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
176169, 172, 174, 175syl3anc 1473 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → (((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡) ↔ ¬ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
177168, 176mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
1781773expa 1111 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 0 < 𝑡) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
179178adantrr 755 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
1801, 179pm2.21fal 1646 . . 3 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → ⊥)
181 archiabllem2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
1821813adant1r 1185 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
18313, 147, 52grpsubid 17692 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = 0 )
1848, 170, 183syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = 0 )
185 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
18613, 92, 52ogrpsublt 30023 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
1876, 170, 16, 170, 185, 186syl131anc 1486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
188184, 187eqbrtrrd 4820 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 0 < ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
18913, 147, 38, 92, 23, 6, 159, 14, 162, 182, 171, 188archiabllem2a 30049 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ∃𝑡𝐵 ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
190180, 189r19.29a 3208 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ⊥)
191190inegd 1644 1 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wfal 1629  wcel 2131  wrex 3043   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123  -cneg 10451  2c2 11254  cz 11561  Basecbs 16051  +gcplusg 16135  lecple 16142  0gc0g 16294  Posetcpo 17133  ltcplt 17134  Tosetctos 17226  Grpcgrp 17615  invgcminusg 17616  -gcsg 17617  .gcmg 17733  oppgcoppg 17967  oMndcomnd 29998  oGrpcogrp 29999  Archicarchi 30032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-fz 12512  df-seq 12988  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-plusg 16148  df-ple 16155  df-0g 16296  df-preset 17121  df-poset 17139  df-plt 17151  df-toset 17227  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-mulg 17734  df-oppg 17968  df-omnd 30000  df-ogrp 30001  df-inftm 30033  df-archi 30034
This theorem is referenced by:  archiabllem2b  30051
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