Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem1b 30055
Description: Lemma for archiabl 30061. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u (𝜑𝑈𝐵)
archiabllem1.p (𝜑0 < 𝑈)
archiabllem1.s ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1b ((𝜑𝑦𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   · ,𝑛,𝑥   0 ,𝑛,𝑥   < ,𝑛,𝑥   𝑥,
Allowed substitution hints:   < (𝑦)   · (𝑦)   𝑈(𝑦)   (𝑦,𝑛)   0 (𝑦)

Proof of Theorem archiabllem1b
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0zd 11581 . . 3 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 0 ∈ ℤ)
2 simpr 479 . . . 4 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = 0 )
3 archiabllem1.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐵)
4 archiabllem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑊)
5 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
6 archiabllem.m . . . . . . 7 · = (.g𝑊)
74, 5, 6mulg0 17747 . . . . . 6 (𝑈𝐵 → (0 · 𝑈) = 0 )
83, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 · 𝑈) = 0 )
98ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → (0 · 𝑈) = 0 )
102, 9eqtr4d 2797 . . 3 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = (0 · 𝑈))
11 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑈) = (0 · 𝑈))
1211eqeq2d 2770 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝑦 = (𝑛 · 𝑈) ↔ 𝑦 = (0 · 𝑈)))
1312rspcev 3449 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (0 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
141, 10, 13syl2anc 696 . 2 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
15 simplr 809 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1615nnzd 11673 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1716znegcld 11676 . . . . 5 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → -𝑚 ∈ ℤ)
1833ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝑈𝐵)
1918ad2antrr 764 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑈𝐵)
20 eqid 2760 . . . . . . . 8 (invg𝑊) = (invg𝑊)
214, 6, 20mulgnegnn 17752 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑈𝐵) → (-𝑚 · 𝑈) = ((invg𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
2215, 19, 21syl2anc 696 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → (-𝑚 · 𝑈) = ((invg𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
23 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈))
2423fveq2d 6356 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑦)) = ((invg𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
25 archiabllem.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
26253ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ oGrp)
27 ogrpgrp 30012 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ Grp)
29 simp2 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝑦𝐵)
304, 20grpinvinv 17683 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
3128, 29, 30syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
3231ad2antrr 764 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
3322, 24, 323eqtr2rd 2801 . . . . 5 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈))
34 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · 𝑈) = (-𝑚 · 𝑈))
3534eqeq2d 2770 . . . . . 6 (𝑛 = -𝑚 → (𝑦 = (𝑛 · 𝑈) ↔ 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈)))
3635rspcev 3449 . . . . 5 ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
3717, 33, 36syl2anc 696 . . . 4 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
38 archiabllem.e . . . . 5 = (le‘𝑊)
39 archiabllem.t . . . . 5 < = (lt‘𝑊)
40 archiabllem.a . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
41403ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ Archi)
42 archiabllem1.p . . . . . 6 (𝜑0 < 𝑈)
43423ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 0 < 𝑈)
44 simp1 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝜑)
45 archiabllem1.s . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
4644, 45syl3an1 1167 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
474, 20grpinvcl 17668 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵)
4828, 29, 47syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → ((invg𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵)
494, 5grpidcl 17651 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Grp → 0𝐵)
5028, 49syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 0𝐵)
51 simp3 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝑦 < 0 )
52 eqid 2760 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
534, 39, 52ogrpaddlt 30027 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑦𝐵0𝐵 ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)) < ( 0 (+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)))
5426, 29, 50, 48, 51, 53syl131anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)) < ( 0 (+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)))
554, 52, 5, 20grprinv 17670 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)) = 0 )
5628, 29, 55syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)) = 0 )
574, 52, 5grplid 17653 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)) = ((invg𝑊)‘𝑦))
5828, 48, 57syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → ( 0 (+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)) = ((invg𝑊)‘𝑦))
5954, 56, 583brtr3d 4835 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 0 < ((invg𝑊)‘𝑦))
604, 5, 38, 39, 6, 26, 41, 18, 43, 46, 48, 59archiabllem1a 30054 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈))
6137, 60r19.29a 3216 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
62613expa 1112 . 2 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
63 nnssz 11589 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
64253ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 𝑊 ∈ oGrp)
65403ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 𝑊 ∈ Archi)
6633ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 𝑈𝐵)
67423ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 0 < 𝑈)
68 simp1 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 𝜑)
6968, 45syl3an1 1167 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
70 simp2 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 𝑦𝐵)
71 simp3 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
724, 5, 38, 39, 6, 64, 65, 66, 67, 69, 70, 71archiabllem1a 30054 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
73723expa 1112 . . 3 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
74 ssrexv 3808 . . 3 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈)))
7563, 73, 74mpsyl 68 . 2 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
76 isogrp 30011 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
7776simprbi 483 . . . . 5 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
78 omndtos 30014 . . . . 5 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
7925, 77, 783syl 18 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Toset)
8079adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ Toset)
81 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
8225, 27, 493syl 18 . . . 4 (𝜑0𝐵)
8382adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → 0𝐵)
844, 39tlt3 29974 . . 3 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑦𝐵0𝐵) → (𝑦 = 0𝑦 < 00 < 𝑦))
8580, 81, 83, 84syl3anc 1477 . 2 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦 = 0𝑦 < 00 < 𝑦))
8614, 62, 75, 85mpjao3dan 1544 1 ((𝜑𝑦𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3o 1071  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  wss 3715   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  -cneg 10459  cn 11212  cz 11569  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  lecple 16150  0gc0g 16302  ltcplt 17142  Tosetctos 17234  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624  .gcmg 17741  oMndcomnd 30006  oGrpcogrp 30007  Archicarchi 30040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996  df-0g 16304  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-toset 17235  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-omnd 30008  df-ogrp 30009  df-inftm 30041  df-archi 30042
This theorem is referenced by:  archiabllem1  30056
  Copyright terms: Public domain W3C validator