Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem1 30088
Description: Archimedean ordered groups with a minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u (𝜑𝑈𝐵)
archiabllem1.p (𝜑0 < 𝑈)
archiabllem1.s ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥   𝑥, ·   𝑥, 0   𝑥, <   𝑥,

Proof of Theorem archiabllem1
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 archiabllem.g . . 3 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
2 ogrpgrp 30044 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
4 simplr 806 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
54zcnd 11683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
6 simpr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
76zcnd 11683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
85, 7addcomd 10438 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝑛) = (𝑛 + 𝑚))
98oveq1d 6806 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈))
103ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Grp)
11 archiabllem1.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝐵)
1211ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑈𝐵)
13 archiabllem.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑊)
14 archiabllem.m . . . . . . . . . . . 12 · = (.g𝑊)
15 eqid 2769 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑊) = (+g𝑊)
1613, 14, 15mulgdir 17787 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
1710, 4, 6, 12, 16syl13anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
1813, 14, 15mulgdir 17787 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵)) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
1910, 6, 4, 12, 18syl13anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
209, 17, 193eqtr3d 2811 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
2120adantllr 754 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
2221adantlr 750 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
2322adantr 473 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
24 simpllr 814 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
25 simpr 480 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
2624, 25oveq12d 6809 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
2725, 24oveq12d 6809 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑧(+g𝑊)𝑦) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
2823, 26, 273eqtr4d 2813 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦))
29 simplll 812 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝜑)
30 simpr1r 1290 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))) → 𝑧𝐵)
31303anassrs 1451 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑧𝐵)
32 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
33 archiabllem.e . . . . . . 7 = (le‘𝑊)
34 archiabllem.t . . . . . . 7 < = (lt‘𝑊)
35 archiabllem.a . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
36 archiabllem1.p . . . . . . 7 (𝜑0 < 𝑈)
37 archiabllem1.s . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
3813, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37archiabllem1b 30087 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
3929, 31, 38syl2anc 693 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
4028, 39r19.29a 3224 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦))
4113, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37archiabllem1b 30087 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
4241adantrr 752 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
4340, 42r19.29a 3224 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦))
4443ralrimivva 3118 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦))
4513, 15isabl2 18414 . 2 (𝑊 ∈ Abel ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦)))
463, 44, 45sylanbrc 698 1 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1069   = wceq 1629  wcel 2143  wral 3059  wrex 3060   class class class wbr 4783  cfv 6030  (class class class)co 6791   + caddc 10139  cz 11577  Basecbs 16070  +gcplusg 16155  lecple 16162  0gc0g 16314  ltcplt 17155  Grpcgrp 17636  .gcmg 17754  Abelcabl 18407  oGrpcogrp 30039  Archicarchi 30072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-fz 12533  df-seq 13009  df-0g 16316  df-preset 17142  df-poset 17160  df-plt 17172  df-toset 17248  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-grp 17639  df-minusg 17640  df-sbg 17641  df-mulg 17755  df-cmn 18408  df-abl 18409  df-omnd 30040  df-ogrp 30041  df-inftm 30073  df-archi 30074
This theorem is referenced by:  archiabl  30093
  Copyright terms: Public domain W3C validator