MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arch 11473
Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
arch (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem arch
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4799 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 < 𝑛𝐴 < 𝑛))
21rexbidv 3182 . 2 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛))
3 nnunb 11472 . . . 4 ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦)
4 ralnex 3122 . . . 4 (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
53, 4mpbir 221 . . 3 𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦)
6 rexnal 3125 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
7 nnre 11211 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
8 axlttri 10293 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦)))
97, 8sylan2 492 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦)))
10 equcom 2092 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑛𝑛 = 𝑦)
1110orbi1i 543 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 = 𝑦𝑛 < 𝑦))
12 orcom 401 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑦𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
1311, 12bitri 264 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
1413notbii 309 . . . . . . . 8 (¬ (𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
159, 14syl6bb 276 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦)))
1615biimprd 238 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) → 𝑦 < 𝑛))
1716reximdva 3147 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
186, 17syl5bir 233 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
1918ralimia 3080 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛)
205, 19ax-mp 5 . 2 𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛
212, 20vtoclri 3415 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  wrex 3043   class class class wbr 4796  cr 10119   < clt 10258  cn 11204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205
This theorem is referenced by:  nnrecl  11474  bndndx  11475  btwnz  11663  uzwo3  11968  zmin  11969  rpnnen1lem5  12003  rpnnen1lem5OLD  12009  harmonic  14782  alzdvds  15236  ovolicc2lem4  23480  volsup2  23565  ismbf3d  23612  mbfi1fseqlem6  23678  itg2seq  23700  itg2cnlem1  23719  ply1divex  24087  plydivex  24243  lgamucov  24955  lgamcvg2  24972  ubthlem1  28027  lnconi  29193  rearchi  30143  esumcst  30426  hbtlem5  38192  prmunb2  39004  rfcnnnub  39686  stoweidlem14  40726  stoweidlem60  40772  sge0rpcpnf  41133  hoicvr  41260
  Copyright terms: Public domain W3C validator