MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arch 11233
Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
arch (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem arch
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4616 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 < 𝑛𝐴 < 𝑛))
21rexbidv 3045 . 2 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛))
3 nnunb 11232 . . . 4 ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦)
4 ralnex 2986 . . . 4 (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
53, 4mpbir 221 . . 3 𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦)
6 rexnal 2989 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
7 nnre 10971 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
8 axlttri 10053 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦)))
97, 8sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦)))
10 equcom 1942 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑛𝑛 = 𝑦)
1110orbi1i 542 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 = 𝑦𝑛 < 𝑦))
12 orcom 402 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑦𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
1311, 12bitri 264 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
1413notbii 310 . . . . . . . 8 (¬ (𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
159, 14syl6bb 276 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦)))
1615biimprd 238 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) → 𝑦 < 𝑛))
1716reximdva 3011 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
186, 17syl5bir 233 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
1918ralimia 2945 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛)
205, 19ax-mp 5 . 2 𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛
212, 20vtoclri 3269 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908   class class class wbr 4613  cr 9879   < clt 10018  cn 10964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965
This theorem is referenced by:  nnrecl  11234  bndndx  11235  btwnz  11423  uzwo3  11727  zmin  11728  rpnnen1lem5  11762  rpnnen1lem5OLD  11768  harmonic  14516  alzdvds  14966  ovolicc2lem4  23195  volsup2  23279  ismbf3d  23327  mbfi1fseqlem6  23393  itg2seq  23415  itg2cnlem1  23434  ply1divex  23800  plydivex  23956  lgamucov  24664  lgamcvg2  24681  ubthlem1  27572  lnconi  28738  rearchi  29624  esumcst  29903  hbtlem5  37176  prmunb2  37989  rfcnnnub  38675  stoweidlem14  39535  stoweidlem60  39581  sge0rpcpnf  39942  hoicvr  40066
  Copyright terms: Public domain W3C validator