MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  angpieqvdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem angpieqvdlem 24776
Description: Equivalence used in the proof of angpieqvd 24779. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
angpieqvdlem.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.C (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.AneB (𝜑𝐴𝐵)
angpieqvdlem.AneC (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
angpieqvdlem (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem angpieqvdlem
StepHypRef Expression
1 angpieqvdlem.C . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 angpieqvdlem.B . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
31, 2subcld 10598 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
4 angpieqvdlem.A . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
54, 2subcld 10598 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
6 angpieqvdlem.AneB . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
74, 2, 6subne0d 10607 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)
83, 5, 7divcld 11007 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
98negcld 10585 . . 3 (𝜑 → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
10 1cnd 10262 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11 angpieqvdlem.AneC . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐶)
1211necomd 2998 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
131, 4, 2, 12subneintr2d 10644 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐵) ≠ (𝐴𝐵))
143, 5, 7, 13divne1d 11018 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ≠ 1)
158, 10, 14negned 10595 . . 3 (𝜑 → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ≠ -1)
169, 15xov1plusxeqvd 12525 . 2 (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) / (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
173, 5, 7divnegd 11020 . . . . . 6 (𝜑 → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) = (-(𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)))
181, 2negsubdi2d 10614 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐶𝐵) = (𝐵𝐶))
1918oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝜑 → (-(𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝐶) / (𝐴𝐵)))
2017, 19eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝐶) / (𝐴𝐵)))
215, 7dividd 11005 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / (𝐴𝐵)) = 1)
2221oveq1d 6811 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / (𝐴𝐵)) − ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))) = (1 − ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))))
235, 3, 5, 7divsubdird 11046 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐵) − (𝐶𝐵)) / (𝐴𝐵)) = (((𝐴𝐵) / (𝐴𝐵)) − ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))))
2410, 8negsubd 10604 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))) = (1 − ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))))
2522, 23, 243eqtr4rd 2816 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))) = (((𝐴𝐵) − (𝐶𝐵)) / (𝐴𝐵)))
264, 1, 2nnncan2d 10633 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐵) − (𝐶𝐵)) = (𝐴𝐶))
2726oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐵) − (𝐶𝐵)) / (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐶) / (𝐴𝐵)))
2825, 27eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵))) = ((𝐴𝐶) / (𝐴𝐵)))
2920, 28oveq12d 6814 . . . 4 (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) / (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)))) = (((𝐵𝐶) / (𝐴𝐵)) / ((𝐴𝐶) / (𝐴𝐵))))
302, 1subcld 10598 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
314, 1subcld 10598 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
324, 1, 11subne0d 10607 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐶) ≠ 0)
3330, 31, 5, 32, 7divcan7d 11035 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐶) / (𝐴𝐵)) / ((𝐴𝐶) / (𝐴𝐵))) = ((𝐵𝐶) / (𝐴𝐶)))
342, 1, 4, 1, 11div2subd 11057 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐶) / (𝐴𝐶)) = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)))
3529, 33, 343eqtrrd 2810 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) = (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) / (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)))))
3635eleq1d 2835 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1) ↔ (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) / (1 + -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
3716, 36bitr4d 271 1 (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2145  wne 2943  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  cmin 10472  -cneg 10473   / cdiv 10890  +crp 12035  (,)cioo 12380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-rp 12036  df-ioo 12384
This theorem is referenced by:  angpieqvd  24779
  Copyright terms: Public domain W3C validator