Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ang180 24765
 Description: The sum of angles 𝑚𝐴𝐵𝐶 + 𝑚𝐵𝐶𝐴 + 𝑚𝐶𝐴𝐵 in a triangle adds up to either π or -π, i.e. 180 degrees. (The sign is due to the two possible orientations of vertex arrangement and our signed notion of angle). This is Metamath 100 proof #27. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ang.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
ang180 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)) + ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶))) + ((𝐵𝐴)𝐹(𝐶𝐴))) ∈ {-π, π})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ang180
StepHypRef Expression
1 simpl3 1231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2 simpl2 1229 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
31, 2subcld 10598 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
4 simpr2 1235 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐵𝐶)
54necomd 2998 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐶𝐵)
61, 2, 5subne0d 10607 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐶𝐵) ≠ 0)
7 simpl1 1227 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
87, 2subcld 10598 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
9 simpr1 1233 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐴𝐵)
107, 2, 9subne0d 10607 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵) ≠ 0)
11 ang.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
1211angneg 24754 . . . . . 6 ((((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ≠ 0)) → (-(𝐶𝐵)𝐹-(𝐴𝐵)) = ((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)))
133, 6, 8, 10, 12syl22anc 1477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (-(𝐶𝐵)𝐹-(𝐴𝐵)) = ((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)))
141, 2negsubdi2d 10614 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → -(𝐶𝐵) = (𝐵𝐶))
152, 1, 7nnncan2d 10633 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴)) = (𝐵𝐶))
1614, 15eqtr4d 2808 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → -(𝐶𝐵) = ((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴)))
177, 2negsubdi2d 10614 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
1816, 17oveq12d 6814 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (-(𝐶𝐵)𝐹-(𝐴𝐵)) = (((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴))𝐹(𝐵𝐴)))
1913, 18eqtr3d 2807 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)) = (((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴))𝐹(𝐵𝐴)))
207, 1subcld 10598 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
21 simpr3 1237 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐴𝐶)
227, 1, 21subne0d 10607 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐴𝐶) ≠ 0)
232, 1subcld 10598 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
242, 1, 4subne0d 10607 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
2511angneg 24754 . . . . . 6 ((((𝐴𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐶) ≠ 0) ∧ ((𝐵𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0)) → (-(𝐴𝐶)𝐹-(𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶)))
2620, 22, 23, 24, 25syl22anc 1477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (-(𝐴𝐶)𝐹-(𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶)))
277, 1negsubdi2d 10614 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → -(𝐴𝐶) = (𝐶𝐴))
282, 1negsubdi2d 10614 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → -(𝐵𝐶) = (𝐶𝐵))
291, 2, 7nnncan2d 10633 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴)) = (𝐶𝐵))
3028, 29eqtr4d 2808 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → -(𝐵𝐶) = ((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴)))
3127, 30oveq12d 6814 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (-(𝐴𝐶)𝐹-(𝐵𝐶)) = ((𝐶𝐴)𝐹((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴))))
3226, 31eqtr3d 2807 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶)) = ((𝐶𝐴)𝐹((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴))))
3319, 32oveq12d 6814 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)) + ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶))) = ((((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴))𝐹(𝐵𝐴)) + ((𝐶𝐴)𝐹((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴)))))
3433oveq1d 6811 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)) + ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶))) + ((𝐵𝐴)𝐹(𝐶𝐴))) = (((((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴))𝐹(𝐵𝐴)) + ((𝐶𝐴)𝐹((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴)))) + ((𝐵𝐴)𝐹(𝐶𝐴))))
352, 7subcld 10598 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
369necomd 2998 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐵𝐴)
372, 7, 36subne0d 10607 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐵𝐴) ≠ 0)
381, 7subcld 10598 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
3921necomd 2998 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → 𝐶𝐴)
401, 7, 39subne0d 10607 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐶𝐴) ≠ 0)
412, 1, 7, 4subneintr2d 10644 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (𝐵𝐴) ≠ (𝐶𝐴))
4211ang180lem5 24764 . . 3 ((((𝐵𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ≠ 0) ∧ ((𝐶𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵𝐴) ≠ (𝐶𝐴)) → (((((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴))𝐹(𝐵𝐴)) + ((𝐶𝐴)𝐹((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴)))) + ((𝐵𝐴)𝐹(𝐶𝐴))) ∈ {-π, π})
4335, 37, 38, 40, 41, 42syl221anc 1487 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → (((((𝐵𝐴) − (𝐶𝐴))𝐹(𝐵𝐴)) + ((𝐶𝐴)𝐹((𝐶𝐴) − (𝐵𝐴)))) + ((𝐵𝐴)𝐹(𝐶𝐴))) ∈ {-π, π})
4434, 43eqeltrd 2850 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐶)) → ((((𝐶𝐵)𝐹(𝐴𝐵)) + ((𝐴𝐶)𝐹(𝐵𝐶))) + ((𝐵𝐴)𝐹(𝐶𝐴))) ∈ {-π, π})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3720  {csn 4317  {cpr 4319  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ↦ cmpt2 6798  ℂcc 10140  0cc0 10142   + caddc 10145   − cmin 10472  -cneg 10473   / cdiv 10890  ℑcim 14046  πcpi 15003  logclog 24522 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator