Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmwlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmwlem 42876
 Description: Weighted version of amgmlem 24761. (Contributed by Kunhao Zheng, 19-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmwlem.0 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmwlem.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgmwlem.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgmwlem.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
amgmwlem.4 (𝜑𝑊:𝐴⟶ℝ+)
amgmwlem.5 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝑊) = 1)
Assertion
Ref Expression
amgmwlem (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)) ≤ (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊)))

Proof of Theorem amgmwlem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑢 𝑣 𝑘 𝑦 𝑤 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 amgmwlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 amgmwlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
32ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
4 amgmwlem.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊:𝐴⟶ℝ+)
54ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑊𝑘) ∈ ℝ+)
65rpred 11910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑊𝑘) ∈ ℝ)
73, 6rpcxpcld 24521 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘)) ∈ ℝ+)
87relogcld 24414 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) ∈ ℝ)
98recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) ∈ ℂ)
101, 9gsumfsum 19861 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))) = Σ𝑘𝐴 (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))
119negnegd 10421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → --(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))
1211sumeq2dv 14477 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))
138renegcld 10495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) ∈ ℝ)
1413recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) ∈ ℂ)
151, 14fsumneg 14563 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = -Σ𝑘𝐴 -(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))
163, 6logcxpd 24522 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = ((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))))
1716negeqd 10313 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))))
1817sumeq2dv 14477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 -(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = Σ𝑘𝐴 -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))))
1918negeqd 10313 . . . . . . . 8 (𝜑 → -Σ𝑘𝐴 -(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = -Σ𝑘𝐴 -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))))
205rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑊𝑘) ∈ ℂ)
213relogcld 24414 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2221recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
2320, 22mulneg2d 10522 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))) = -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))))
2423eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))) = ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
2524sumeq2dv 14477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
2625negeqd 10313 . . . . . . . 8 (𝜑 → -Σ𝑘𝐴 -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))) = -Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
2715, 19, 263eqtrd 2689 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = -Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
2810, 12, 273eqtr2rd 2692 . . . . . 6 (𝜑 → -Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))))
29 negex 10317 . . . . . . . . . . 11 -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ V)
314feqmptd 6288 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 = (𝑘𝐴 ↦ (𝑊𝑘)))
32 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))
331, 5, 30, 31, 32offval2 6956 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘)))))
3433oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))))
3522negcld 10417 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
3620, 35mulcld 10098 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
371, 36gsumfsum 19861 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))) = Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
3834, 37eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) = Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
3938negeqd 10313 . . . . . 6 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) = -Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
40 relogf1o 24358 . . . . . . . . . 10 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
41 f1of 6175 . . . . . . . . . 10 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ
43 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
4443anim2i 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ))
4544adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ))
46 rpcxpcl 24467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℝ+)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℝ+)
48 inidm 3855 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐴) = 𝐴
4947, 2, 4, 1, 1, 48off 6954 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑓𝑐𝑊):𝐴⟶ℝ+)
50 fcompt 6440 . . . . . . . . 9 (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ (𝐹𝑓𝑐𝑊):𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹𝑓𝑐𝑊)) = (𝑘𝐴 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹𝑓𝑐𝑊)‘𝑘))))
5142, 49, 50sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹𝑓𝑐𝑊)) = (𝑘𝐴 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹𝑓𝑐𝑊)‘𝑘))))
5249ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑓𝑐𝑊)‘𝑘) ∈ ℝ+)
53 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑓𝑐𝑊)‘𝑘) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹𝑓𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹𝑓𝑐𝑊)‘𝑘)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹𝑓𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹𝑓𝑐𝑊)‘𝑘)))
552ffnd 6084 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
564ffnd 6084 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 Fn 𝐴)
57 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
58 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑊𝑘) = (𝑊𝑘))
5955, 56, 1, 1, 48, 57, 58ofval 6948 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑓𝑐𝑊)‘𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘)))
6059fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘((𝐹𝑓𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))
6154, 60eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹𝑓𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))
6261mpteq2dva 4777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹𝑓𝑐𝑊)‘𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘)))))
6351, 62eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹𝑓𝑐𝑊)) = (𝑘𝐴 ↦ (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘)))))
6463oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹𝑓𝑐𝑊))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))))
6528, 39, 643eqtr4d 2695 . . . . 5 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) = (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹𝑓𝑐𝑊))))
66 amgmwlem.0 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
6766oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
6867rpmsubg 19858 . . . . . . . . . . 11 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
69 subgsubm 17663 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
71 cnring 19816 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ Ring
72 cnfldbas 19798 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (Base‘ℂfld)
73 cnfld0 19818 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘ℂfld)
74 cndrng 19823 . . . . . . . . . . . . 13 fld ∈ DivRing
7572, 73, 74drngui 18801 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
7675, 66unitsubm 18716 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
77 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
7877subsubm 17404 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
7971, 76, 78mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
8070, 79mpbi 220 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
8180simpli 473 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
82 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑀s+) = (𝑀s+)
8382submbas 17402 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
8481, 83ax-mp 5 . . . . . . 7 + = (Base‘(𝑀s+))
85 cnfld1 19819 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℂfld)
8666, 85ringidval 18549 . . . . . . . 8 1 = (0g𝑀)
87 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (0g𝑀) = (0g𝑀)
8882, 87subm0 17403 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+)))
8981, 88ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+))
9086, 89eqtri 2673 . . . . . . 7 1 = (0g‘(𝑀s+))
91 cncrng 19815 . . . . . . . . 9 fld ∈ CRing
9266crngmgp 18601 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
9391, 92mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
9482submmnd 17401 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
9581, 94mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
9682subcmn 18288 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
9793, 95, 96syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
98 resubdrg 20002 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
9998simpli 473 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
100 df-refld 19999 . . . . . . . . . 10 fld = (ℂflds ℝ)
101100subrgring 18831 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
10299, 101ax-mp 5 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
103 ringmnd 18602 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Mnd)
104102, 103mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝfld ∈ Mnd)
10566oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
106105reloggim 24390 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpIso ℝfld)
107 gimghm 17753 . . . . . . . . 9 ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpIso ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld))
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . 8 (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld)
109 ghmmhm 17717 . . . . . . . 8 ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) MndHom ℝfld))
110108, 109mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) MndHom ℝfld))
111 1red 10093 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11249, 1, 111fdmfifsupp 8326 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑓𝑐𝑊) finSupp 1)
11384, 90, 97, 104, 1, 110, 49, 112gsummhm 18384 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹𝑓𝑐𝑊))) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀s+) Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))))
114 subrgsubg 18834 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
11599, 114ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
116 subgsubm 17663 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld)
118117a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
11940, 41mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
120 fco 6096 . . . . . . . 8 (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ (𝐹𝑓𝑐𝑊):𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹𝑓𝑐𝑊)):𝐴⟶ℝ)
121119, 49, 120syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹𝑓𝑐𝑊)):𝐴⟶ℝ)
1221, 118, 121, 100gsumsubm 17420 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹𝑓𝑐𝑊))) = (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹𝑓𝑐𝑊))))
12381a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
1241, 123, 49, 82gsumsubm 17420 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)) = ((𝑀s+) Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)))
125124fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀s+) Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))))
126113, 122, 1253eqtr4d 2695 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹𝑓𝑐𝑊))) = ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))))
12786, 93, 1, 123, 49, 112gsumsubmcl 18365 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)) ∈ ℝ+)
128 fvres 6245 . . . . . 6 ((𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))) = (log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))))
129127, 128syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))) = (log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))))
13065, 126, 1293eqtrd 2689 . . . 4 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) = (log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))))
131 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
132131rpcnd 11912 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℂ)
133 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
134133rpcnd 11912 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
135132, 134mulcomd 10099 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
1361, 4, 2, 135caofcom 6971 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊𝑓 · 𝐹) = (𝐹𝑓 · 𝑊))
137136oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊)))
1382feqmptd 6288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
1391, 5, 3, 31, 138offval2 6956 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊𝑓 · 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘))))
140139oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)))))
1415, 3rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
142141rpcnd 11912 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
1431, 142gsumfsum 19861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)))) = Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)))
144140, 143eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) = Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)))
145 amgmwlem.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
1461, 145, 141fsumrpcl 14512 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
147144, 146eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) ∈ ℝ+)
148137, 147eqeltrrd 2731 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊)) ∈ ℝ+)
149148relogcld 24414 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))) ∈ ℝ)
150 ringcmn 18627 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
15171, 150mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
152 remulcl 10059 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
153152adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
154 rpssre 11881 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
155 fss 6094 . . . . . . . 8 ((𝑊:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → 𝑊:𝐴⟶ℝ)
1564, 154, 155sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑𝑊:𝐴⟶ℝ)
15721renegcld 10495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
158 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))
159157, 158fmptd 6425 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))):𝐴⟶ℝ)
160153, 156, 159, 1, 1, 48off 6954 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))):𝐴⟶ℝ)
161 0red 10079 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
162160, 1, 161fdmfifsupp 8326 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) finSupp 0)
16373, 151, 1, 118, 160, 162gsumsubmcl 18365 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) ∈ ℝ)
164154a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
165 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
166165relogcld 24414 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
167166renegcld 10495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℝ)
168 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))
169167, 168fmptd 6425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℝ)
170 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
171 ioorp 12289 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) = ℝ+
172170, 171syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ (0(,)+∞))
173 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ+)
174173, 171syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ (0(,)+∞))
175 iccssioo2 12284 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (0(,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0(,)+∞)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
176172, 174, 175syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
177176, 171syl6sseq 3684 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
178177adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
179 ioossico 12300 . . . . . . . . . 10 (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
180171, 179eqsstr3i 3669 . . . . . . . . 9 + ⊆ (0[,)+∞)
181 fss 6094 . . . . . . . . 9 ((𝑊:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)) → 𝑊:𝐴⟶(0[,)+∞))
1824, 180, 181sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊:𝐴⟶(0[,)+∞))
183 0lt1 10588 . . . . . . . . 9 0 < 1
184 amgmwlem.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝑊) = 1)
185183, 184syl5breqr 4723 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑊))
186 logccv 24454 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
1871863adant1 1099 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
188 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ)
1891883ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
190 simp21 1114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
191190relogcld 24414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
192189, 191remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
193 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
194193, 188resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
1951943ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
196 simp22 1115 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
197196relogcld 24414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
198195, 197remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
199192, 198readdcld 10107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
200 eliooord 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑡𝑡 < 1))
201200simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑡)
202188, 201elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ+)
2032023ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
204203, 190rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ+)
205 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 0 ∈ ℝ)
206200simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 < 1)
207 1m0e1 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 − 0) = 1
208206, 207syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 < (1 − 0))
209188, 193, 205, 208ltsub13d 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 0 < (1 − 𝑡))
210194, 209elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ+)
2112103ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ+)
212211, 196rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ+)
213 rpaddcl 11892 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ+) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
214204, 212, 213syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
215214relogcld 24414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ ℝ)
216199, 215ltnegd 10643 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ↔ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))))
217187, 216mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
218 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
219 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
220219adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
221220negeqd 10313 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → -(log‘𝑤) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
222 negex 10317 . . . . . . . . . . . 12 -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V
223222a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V)
224218, 221, 214, 223fvmptd 6327 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
225 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑥 → (log‘𝑤) = (log‘𝑥))
226225negeqd 10313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑥 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑥))
227 negex 10317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(log‘𝑤) ∈ V
228226, 168, 227fvmpt3i 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
229190, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
230229oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = (𝑡 · -(log‘𝑥)))
231189recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
232191recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
233231, 232mulneg2d 10522 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · -(log‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
234230, 233eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
235 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑦 → (log‘𝑤) = (log‘𝑦))
236235negeqd 10313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑦 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑦))
237236, 168, 227fvmpt3i 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
238196, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
239238oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)))
240211rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
241197recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
242240, 241mulneg2d 10522 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
243239, 242eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
244234, 243oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
245192recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
246198recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
247245, 246negdid 10443 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
248244, 247eqtr4d 2688 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
249217, 224, 2483brtr4d 4717 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))))
250164, 169, 178, 249scvxcvx 24757 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑠 · 𝑢) + ((1 − 𝑠) · 𝑣))) ≤ ((𝑠 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑢)) + ((1 − 𝑠) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑣))))
251164, 169, 178, 1, 182, 2, 185, 250jensen 24760 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊)) ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊))))
252251simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊)))
253184oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊)) = ((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) / 1))
254253fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) / 1)))
255147rpcnd 11912 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) ∈ ℂ)
256255div1d 10831 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) / 1) = (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)))
257256fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) / 1)) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹))))
258 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) → (log‘𝑤) = (log‘(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹))))
259258negeqd 10313 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) → -(log‘𝑤) = -(log‘(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹))))
260259, 168, 227fvmpt3i 6326 . . . . . . . . 9 ((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹))))
261147, 260syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹))))
262137fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹))) = (log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))))
263262negeqd 10313 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(log‘(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))))
264261, 263eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))))
265254, 257, 2643eqtrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))))
266184oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊)) = ((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / 1))
267 ringmnd 18602 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
26871, 267ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Mnd
26972submid 17398 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Mnd → ℂ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
270268, 269mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
271 mulcl 10058 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
272271adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
273 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
274273ssriv 3640 . . . . . . . . . . . 12 + ⊆ ℂ
275274a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℂ)
2764, 275fssd 6095 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊:𝐴⟶ℂ)
277166recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℂ)
278277negcld 10417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℂ)
279278, 168fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℂ)
280 fco 6096 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
281279, 2, 280syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
282272, 276, 281, 1, 1, 48off 6954 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)):𝐴⟶ℂ)
283282, 1, 161fdmfifsupp 8326 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) finSupp 0)
28473, 151, 1, 270, 282, 283gsumsubmcl 18365 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) ∈ ℂ)
285284div1d 10831 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / 1) = (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))))
286 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
287 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝐹𝑘) → (log‘𝑤) = (log‘(𝐹𝑘)))
288287negeqd 10313 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝐹𝑘) → -(log‘𝑤) = -(log‘(𝐹𝑘)))
2893, 138, 286, 288fmptco 6436 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))
290289oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) = (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))))
291290oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
292266, 285, 2913eqtrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊)) = (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
293252, 265, 2923brtr3d 4716 . . . . 5 (𝜑 → -(log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))) ≤ (ℂfld Σg (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
294149, 163, 293lenegcon1d 10647 . . . 4 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊𝑓 · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))))
295130, 294eqbrtrrd 4709 . . 3 (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))))
296127relogcld 24414 . . . 4 (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))) ∈ ℝ)
297 efle 14892 . . . 4 (((log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))) ∈ ℝ ∧ (log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))) ↔ (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)))) ≤ (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))))))
298296, 149, 297syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))) ↔ (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)))) ≤ (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊))))))
299295, 298mpbid 222 . 2 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)))) ≤ (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊)))))
300127reeflogd 24415 . . 3 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)))) = (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)))
301300eqcomd 2657 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)) = (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)))))
302148reeflogd 24415 . . 3 (𝜑 → (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊)))) = (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊)))
303302eqcomd 2657 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊)) = (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊)))))
304299, 301, 3033brtr4d 4717 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐𝑊)) ≤ (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · 𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   ↾ cres 5145   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  Fincfn 7997  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  Σcsu 14460  expce 14836  Basecbs 15904   ↾s cress 15905  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341   MndHom cmhm 17380  SubMndcsubmnd 17381  SubGrpcsubg 17635   GrpHom cghm 17704   GrpIso cgim 17746  CMndccmn 18239  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  DivRingcdr 18795  SubRingcsubrg 18824  ℂfldccnfld 19794  ℝfldcrefld 19998  logclog 24346  ↑𝑐ccxp 24347 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349 This theorem is referenced by:  amgmlemALT  42877  amgmw2d  42878
 Copyright terms: Public domain W3C validator