Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmlemALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmlemALT 42877
Description: Alternate proof of amgmlem 24761 using amgmwlem 42876. (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmlemALT.0 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmlemALT.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgmlemALT.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgmlemALT (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlemALT
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 amgmlemALT.0 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2 amgmlemALT.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 amgmlemALT.2 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
4 amgmlemALT.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
5 hashnncl 13195 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
62, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
73, 6mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
87nnrpd 11908 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℝ+)
98rpreccld 11920 . . . 4 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
10 fconst6g 6132 . . . 4 ((1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
12 fconstmpt 5197 . . . . . 6 (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴))))
1413oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))))
157nnrecred 11104 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
1615recnd 10106 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
17 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
18 simplr 807 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
1917, 18gsumfsum 19861 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)))
202, 16, 19syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)))
21 fsumconst 14566 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)) = ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))))
222, 16, 21syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)) = ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))))
237nncnd 11074 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
247nnne0d 11103 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ≠ 0)
2523, 24recidd 10834 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))) = 1)
2622, 25eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)) = 1)
2714, 20, 263eqtrd 2689 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = 1)
281, 2, 3, 4, 11, 27amgmwlem 42876 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) ≤ (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))))
29 rpssre 11881 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
30 ax-resscn 10031 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3129, 30sstri 3645 . . . . 5 + ⊆ ℂ
32 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑀s+) = (𝑀s+)
33 cnfldbas 19798 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
341, 33mgpbas 18541 . . . . . 6 ℂ = (Base‘𝑀)
3532, 34ressbas2 15978 . . . . 5 (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
3631, 35ax-mp 5 . . . 4 + = (Base‘(𝑀s+))
37 cnfld1 19819 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
381, 37ringidval 18549 . . . . 5 1 = (0g𝑀)
391oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
4039rpmsubg 19858 . . . . . . . . 9 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
41 subgsubm 17663 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
43 cnring 19816 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
44 cnfld0 19818 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
45 cndrng 19823 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ DivRing
4633, 44, 45drngui 18801 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
4746, 1unitsubm 18716 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
4843, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
49 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
5049subsubm 17404 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
5242, 51mpbi 220 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
5352simpli 473 . . . . . 6 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
54 eqid 2651 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
5532, 54subm0 17403 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+)))
5653, 55ax-mp 5 . . . . 5 (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+))
5738, 56eqtri 2673 . . . 4 1 = (0g‘(𝑀s+))
58 cncrng 19815 . . . . . 6 fld ∈ CRing
591crngmgp 18601 . . . . . 6 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5 𝑀 ∈ CMnd
6132submmnd 17401 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
6253, 61mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
6332subcmn 18288 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
6460, 62, 63sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
65 reex 10065 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6665, 29ssexi 4836 . . . . . . 7 + ∈ V
67 cnfldmul 19800 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
681, 67mgpplusg 18539 . . . . . . . 8 · = (+g𝑀)
6932, 68ressplusg 16040 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀s+)))
7066, 69ax-mp 5 . . . . . 6 · = (+g‘(𝑀s+))
71 eqid 2651 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
7271rpmsubg 19858 . . . . . . 7 + ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
731oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
74 cnex 10055 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
75 difss 3770 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
7674, 75ssexi 4836 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
77 rpcndif0 11889 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
7877ssriv 3640 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
79 ressabs 15986 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+))
8076, 78, 79mp2an 708 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
8173, 80eqtr4i 2676 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+)
8281subggrp 17644 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀s+) ∈ Grp)
8372, 82mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Grp)
84 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℝ+)
8515adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
8684, 85rpcxpcld 24521 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) ∈ ℝ+)
87 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))
8886, 87fmptd 6425 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))):ℝ+⟶ℝ+)
89 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9089rprege0d 11917 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
91 simprr 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
9291rprege0d 11917 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
9316adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
94 mulcxp 24476 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
9590, 92, 93, 94syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
96 rpmulcl 11893 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9796adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
98 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
99 ovex 6718 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) ∈ V
10098, 87, 99fvmpt3i 6326 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
10197, 100syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
102 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
103102, 87, 99fvmpt3i 6326 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
10489, 103syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
105 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴))))
106105, 87, 99fvmpt3i 6326 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴))))
10791, 106syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴))))
108104, 107oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑦)) = ((𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
10995, 101, 1083eqtr4d 2695 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑦)))
11036, 36, 70, 70, 83, 83, 88, 109isghmd 17716 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)))
111 ghmmhm 17717 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)) → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
112110, 111syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
113 1red 10093 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1144, 2, 113fdmfifsupp 8326 . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 1)
11536, 57, 64, 62, 2, 112, 4, 114gsummhm 18384 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
11653a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
1174ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
11815adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
119117, 118rpcxpcld 24521 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ∈ ℝ+)
120 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
121119, 120fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴)))):𝐴⟶ℝ+)
1222, 116, 121, 32gsumsubm 17420 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))))
1239adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1244feqmptd 6288 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
1252, 117, 123, 124, 13offval2 6956 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
126125oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))))
127102cbvmptv 4783 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
128127a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
129 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))) = ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
130117, 124, 128, 129fmptco 6436 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
131130oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))))
132122, 126, 1313eqtr4rd 2696 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))))
13336, 57, 64, 2, 4, 114gsumcl 18362 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
134 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑘 = ((𝑀s+) Σg 𝐹) → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
135134, 87, 99fvmpt3i 6326 . . . . 5 (((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
136133, 135syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
1372, 116, 4, 32gsumsubm 17420 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀s+) Σg 𝐹))
138137oveq1d 6705 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
139136, 138eqtr4d 2688 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
140115, 132, 1393eqtr3d 2693 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
141117rpcnd 11912 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1422, 141fsumcl 14508 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
143142, 23, 24divrecd 10842 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (#‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))
1442, 16, 141fsummulc1 14561 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))
145143, 144eqtr2d 2686 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (#‘𝐴)))
14616adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
147141, 146mulcld 10098 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))) ∈ ℂ)
1482, 147gsumfsum 19861 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))
1492, 141gsumfsum 19861 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
150149oveq1d 6705 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (#‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (#‘𝐴)))
151145, 148, 1503eqtr4d 2695 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (#‘𝐴)))
1522, 117, 146, 124, 13offval2 6956 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴)))))
153152oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))))
154124oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))))
155154oveq1d 6705 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (#‘𝐴)))
156151, 153, 1553eqtr4d 2695 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
15728, 140, 1563brtr3d 4716 1 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  +crp 11870  #chash 13157  Σcsu 14460  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341   MndHom cmhm 17380  SubMndcsubmnd 17381  Grpcgrp 17469  SubGrpcsubg 17635   GrpHom cghm 17704  CMndccmn 18239  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  fldccnfld 19794  𝑐ccxp 24347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator