Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm3d 39004
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 3. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm3d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgm3d.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgm3d.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm3d (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))

Proof of Theorem amgm3d
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 12967 . . . 4 (0..^3) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
4 3nn 11378 . . . . 5 3 ∈ ℕ
5 lbfzo0 12702 . . . . 5 (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 221 . . . 4 0 ∈ (0..^3)
7 ne0i 4064 . . . 4 (0 ∈ (0..^3) → (0..^3) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ≠ ∅)
9 amgm3d.0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm3d.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
11 amgm3d.2 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
129, 10, 11s3cld 13817 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+)
13 wrdf 13496 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+)
14 s3len 13839 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
15 df-3 11272 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
1614, 15eqtri 2782 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)
1716oveq2i 6824 . . . . . . 7 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^(2 + 1))
1817feq2i 6198 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
1913, 18sylib 208 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
2015oveq2i 6824 . . . . . 6 (0..^3) = (0..^(2 + 1))
2120feq2i 6198 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
2219, 21sylibr 224 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
2312, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
241, 3, 8, 23amgmlem 24915 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))))
25 cnring 19970 . . . . 5 fld ∈ Ring
261ringmgp 18753 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2725, 26mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
289rpcnd 12067 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2910rpcnd 12067 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3011rpcnd 12067 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3128, 29, 30jca32 559 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)))
32 cnfldbas 19952 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
331, 32mgpbas 18695 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
34 cnfldmul 19954 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
351, 34mgpplusg 18693 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3633, 35gsumws3 39001 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
3727, 31, 36syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
38 3nn0 11502 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
39 hashfzo0 13409 . . . . 5 (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
4038, 39mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(0..^3)) = 3)
4140oveq2d 6829 . . 3 (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^3))) = (1 / 3))
4237, 41oveq12d 6831 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)))
43 ringmnd 18756 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4425, 43mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
45 cnfldadd 19953 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
4632, 45gsumws3 39001 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
4744, 31, 46syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
4847, 40oveq12d 6831 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))) = ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
4924, 42, 483brtr3d 4835 1 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  c0 4058   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cle 10267   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  0cn0 11484  +crp 12025  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477  ⟨“cs3 13787   Σg cgsu 16303  Mndcmnd 17495  mulGrpcmgp 18689  Ringcrg 18747  fldccnfld 19948  𝑐ccxp 24501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-s2 13793  df-s3 13794  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-gim 17902  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-drng 18951  df-subrg 18980  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-refld 20153  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator