Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm2d 38995
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2, derived from amgmlem 24907. (Contributed by Stanislas Polu, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgm2d.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm2d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2752 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 12959 . . . 4 (0..^2) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4 2nn 11369 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
5 lbfzo0 12694 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 221 . . . . 5 0 ∈ (0..^2)
76ne0ii 4058 . . . 4 (0..^2) ≠ ∅
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9 amgm2d.0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm2d.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
119, 10s2cld 13808 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12 wrdf 13488 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
13 s2len 13826 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
1413eqcomi 2761 . . . . . . 7 2 = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)
1514oveq2i 6816 . . . . . 6 (0..^2) = (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
1615feq2i 6190 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
1712, 16sylibr 224 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
1811, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
191, 3, 8, 18amgmlem 24907 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))))
20 cnring 19962 . . . . 5 fld ∈ Ring
211ringmgp 18745 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2220, 21mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
239rpcnd 12059 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2410rpcnd 12059 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
25 cnfldbas 19944 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
261, 25mgpbas 18687 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27 cnfldmul 19946 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
281, 27mgpplusg 18685 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
2926, 28gsumws2 17572 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
3022, 23, 24, 29syl3anc 1473 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
31 2nn0 11493 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
32 hashfzo0 13401 . . . . 5 (2 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^2)) = 2)
3331, 32mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(0..^2)) = 2)
3433oveq2d 6821 . . 3 (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^2))) = (1 / 2))
3530, 34oveq12d 6823 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)))
36 ringmnd 18748 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
3720, 36mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
38 cnfldadd 19945 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
3925, 38gsumws2 17572 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
4037, 23, 24, 39syl3anc 1473 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
4140, 33oveq12d 6823 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
4219, 35, 413brtr3d 4827 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  c0 4050   class class class wbr 4796  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  Fincfn 8113  cc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  cle 10259   / cdiv 10868  cn 11204  2c2 11254  0cn0 11476  +crp 12017  ..^cfzo 12651  chash 13303  Word cword 13469  ⟨“cs2 13778   Σg cgsu 16295  Mndcmnd 17487  mulGrpcmgp 18681  Ringcrg 18739  fldccnfld 19940  𝑐ccxp 24493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-word 13477  df-concat 13479  df-s1 13480  df-s2 13785  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-mhm 17528  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-ghm 17851  df-gim 17894  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-dvr 18875  df-drng 18943  df-subrg 18972  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-refld 20145  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-cmp 21384  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822  df-log 24494  df-cxp 24495
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator