Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altgsumbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem altgsumbc 42648
 Description: The sum of binomial coefficients for a fixed positive 𝑁 with alternating signs is zero. Notice that this is not valid for 𝑁 = 0 (since ((-1↑0) · (0C0)) = (1 · 1) = 1). For a proof using Pascal's rule (bcpascm1 42647) instead of the binomial theorem (binom 14768) , see altgsumbcALT 42649. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbc (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem altgsumbc
StepHypRef Expression
1 1cnd 10257 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2 negid 10529 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (1 + -1) = 0)
32eqcomd 2776 . . . 4 (1 ∈ ℂ → 0 = (1 + -1))
41, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 = (1 + -1))
54oveq1d 6807 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = ((1 + -1)↑𝑁))
6 0exp 13101 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
71negcld 10580 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
8 nnnn0 11500 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9 binom 14768 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))))
101, 7, 8, 9syl3anc 1475 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))))
11 nnz 11600 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12 elfzelz 12548 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13 zsubcl 11620 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
1411, 12, 13syl2an 575 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
15 1exp 13095 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑘) ∈ ℤ → (1↑(𝑁𝑘)) = 1)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1↑(𝑁𝑘)) = 1)
1716oveq1d 6807 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (1 · (-1↑𝑘)))
18 neg1cn 11325 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
20 elfznn0 12639 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21 expcl 13084 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2219, 20, 21syl2an 575 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2322mulid2d 10259 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑘))
2417, 23eqtrd 2804 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑘))
2524oveq2d 6808 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (-1↑𝑘)))
26 bccl 13312 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
278, 12, 26syl2an 575 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 11554 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
2928, 22mulcomd 10262 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (-1↑𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
3025, 29eqtrd 2804 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))) = ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
3130sumeq2dv 14640 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
3210, 31eqtrd 2804 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
335, 6, 323eqtr3rd 2813 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  (class class class)co 6792  ℂcc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   − cmin 10467  -cneg 10468  ℕcn 11221  ℕ0cn0 11493  ℤcz 11578  ...cfz 12532  ↑cexp 13066  Ccbc 13292  Σcsu 14623 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator