Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  allbutfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem allbutfi 39929
 Description: For all but finitely many. Some authors say "cofinitely many". Some authors say "ultimately". Compare with eliuniin 39593 and eliuniin2 39617 (here, the precondition can be dropped; see eliuniincex 39606). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
allbutfi.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
allbutfi.a 𝐴 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
Assertion
Ref Expression
allbutfi (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
Distinct variable group:   𝑚,𝑋,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚,𝑛)   𝐵(𝑚,𝑛)   𝑀(𝑚,𝑛)   𝑍(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem allbutfi
StepHypRef Expression
1 allbutfi.a . . . . . 6 𝐴 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
21eleq2i 2722 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
32biimpi 206 . . . 4 (𝑋𝐴𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
4 eliun 4556 . . . 4 (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
53, 4sylib 208 . . 3 (𝑋𝐴 → ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
6 nfcv 2793 . . . . 5 𝑛𝑋
7 nfiu1 4582 . . . . . 6 𝑛 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
81, 7nfcxfr 2791 . . . . 5 𝑛𝐴
96, 8nfel 2806 . . . 4 𝑛 𝑋𝐴
10 eliin 4557 . . . . . 6 (𝑋𝐴 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
1110biimpd 219 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
1211a1d 25 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝑛𝑍 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)))
139, 12reximdai 3041 . . 3 (𝑋𝐴 → (∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
145, 13mpd 15 . 2 (𝑋𝐴 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
15 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
16 allbutfi.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
1716eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
1817biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
19 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
20 uzid 11740 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
22 ne0i 3954 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
24 eliin2 39613 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑛) ≠ ∅ → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
2715, 26mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
2827ex 449 . . . . 5 (𝑛𝑍 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵))
2928reximia 3038 . . . 4 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 → ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
3029, 4sylibr 224 . . 3 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
3130, 1syl6eleqr 2741 . 2 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵𝑋𝐴)
3214, 31impbii 199 1 (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  ∅c0 3948  ∪ ciun 4552  ∩ ciin 4553  ‘cfv 5926  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726 This theorem is referenced by:  allbutfiinf  39960  allbutfifvre  40225  smflimlem3  41302  smfliminflem  41357
 Copyright terms: Public domain W3C validator