Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem algr0 15332
 Description: The value of the algorithm iterator 𝑅 at 0 is the initial state 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
algrf.2 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
algrf.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4 (𝜑𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
algr0 (𝜑 → (𝑅𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem algr0
StepHypRef Expression
1 algrf.2 . . 3 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
21fveq1i 6230 . 2 (𝑅𝑀) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀)
3 algrf.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 seq1 12854 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀) = ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀))
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀) = ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀))
6 algrf.4 . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
7 uzid 11740 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
83, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
9 algrf.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
108, 9syl6eleqr 2741 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
11 fvconst2g 6508 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑀𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀) = 𝐴)
126, 10, 11syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀) = 𝐴)
135, 12eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀) = 𝐴)
142, 13syl5eq 2697 1 (𝜑 → (𝑅𝑀) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {csn 4210   × cxp 5141   ∘ ccom 5147  ‘cfv 5926  1st c1st 7208  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  seqcseq 12841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842 This theorem is referenced by:  algcvg  15336  eucalg  15347  ovolicc2lem4  23334  bfplem1  33751
 Copyright terms: Public domain W3C validator