MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alginv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alginv 15496
Description: If 𝐼 is an invariant of 𝐹, then its value is unchanged after any number of iterations of 𝐹. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
alginv.1 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
alginv.2 𝐹:𝑆𝑆
alginv.3 (𝑥𝑆 → (𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼𝑥))
Assertion
Ref Expression
alginv ((𝐴𝑆𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem alginv
Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑧 = 0 → (𝑅𝑧) = (𝑅‘0))
21fveq2d 6337 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
32eqeq1d 2773 . . . 4 (𝑧 = 0 → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
43imbi2d 329 . . 3 (𝑧 = 0 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
5 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑘 → (𝑅𝑧) = (𝑅𝑘))
65fveq2d 6337 . . . . 5 (𝑧 = 𝑘 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
76eqeq1d 2773 . . . 4 (𝑧 = 𝑘 → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
87imbi2d 329 . . 3 (𝑧 = 𝑘 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
9 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝑅𝑧) = (𝑅‘(𝑘 + 1)))
109fveq2d 6337 . . . . 5 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
1110eqeq1d 2773 . . . 4 (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
13 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐾 → (𝑅𝑧) = (𝑅𝐾))
1413fveq2d 6337 . . . . 5 (𝑧 = 𝐾 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅𝐾)))
1514eqeq1d 2773 . . . 4 (𝑧 = 𝐾 → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
1615imbi2d 329 . . 3 (𝑧 = 𝐾 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
17 eqidd 2772 . . 3 (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
18 nn0uz 11929 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
19 alginv.1 . . . . . . . . . 10 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
20 0zd 11596 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → 0 ∈ ℤ)
21 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝐴𝑆)
22 alginv.2 . . . . . . . . . . 11 𝐹:𝑆𝑆
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝐹:𝑆𝑆)
2418, 19, 20, 21, 23algrp1 15495 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
2524fveq2d 6337 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
2618, 19, 20, 21, 23algrf 15494 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝑅:ℕ0𝑆)
2726ffvelrnda 6504 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑘) ∈ 𝑆)
28 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑅𝑘) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
2928fveq2d 6337 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑅𝑘) → (𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
30 fveq2 6333 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑅𝑘) → (𝐼𝑥) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
3129, 30eqeq12d 2786 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑅𝑘) → ((𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼𝑥) ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = (𝐼‘(𝑅𝑘))))
32 alginv.3 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑆 → (𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼𝑥))
3331, 32vtoclga 3423 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
3427, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
3525, 34eqtrd 2805 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
3635eqeq1d 2773 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3736biimprd 238 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3837expcom 398 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑆 → ((𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
3938a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) → (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
404, 8, 12, 16, 17, 39nn0ind 11679 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
4140impcom 394 1 ((𝐴𝑆𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4317   × cxp 5248  ccom 5254  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  1st c1st 7317  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  0cn0 11499  seqcseq 13008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-seq 13009
This theorem is referenced by:  eucalg  15508
  Copyright terms: Public domain W3C validator