MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algfx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem algfx 15501
Description: If 𝐹 reaches a fixed point when the countdown function 𝐶 reaches 0, 𝐹 remains fixed after 𝑁 steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvga.1 𝐹:𝑆𝑆
algcvga.2 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
algcvga.3 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvga.4 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
algcvga.5 𝑁 = (𝐶𝐴)
algfx.6 (𝑧𝑆 → ((𝐶𝑧) = 0 → (𝐹𝑧) = 𝑧))
Assertion
Ref Expression
algfx (𝐴𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑅𝐾) = (𝑅𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆   𝑧,𝐾   𝑧,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem algfx
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algcvga.5 . . . 4 𝑁 = (𝐶𝐴)
2 algcvga.3 . . . . 5 𝐶:𝑆⟶ℕ0
32ffvelrni 6501 . . . 4 (𝐴𝑆 → (𝐶𝐴) ∈ ℕ0)
41, 3syl5eqel 2854 . . 3 (𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0)
54nn0zd 11682 . 2 (𝐴𝑆𝑁 ∈ ℤ)
6 uzval 11890 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ𝑁) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
76eleq2d 2836 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
87pm5.32i 564 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
9 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝑁))
109eqeq1d 2773 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑅𝑚) = (𝑅𝑁) ↔ (𝑅𝑁) = (𝑅𝑁)))
1110imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴𝑆 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝑁)) ↔ (𝐴𝑆 → (𝑅𝑁) = (𝑅𝑁))))
12 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝑘))
1312eqeq1d 2773 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑅𝑚) = (𝑅𝑁) ↔ (𝑅𝑘) = (𝑅𝑁)))
1413imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴𝑆 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝑁)) ↔ (𝐴𝑆 → (𝑅𝑘) = (𝑅𝑁))))
15 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑅𝑚) = (𝑅‘(𝑘 + 1)))
1615eqeq1d 2773 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑅𝑚) = (𝑅𝑁) ↔ (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅𝑁)))
1716imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑆 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝑁)) ↔ (𝐴𝑆 → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅𝑁))))
18 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝐾 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝐾))
1918eqeq1d 2773 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝐾 → ((𝑅𝑚) = (𝑅𝑁) ↔ (𝑅𝐾) = (𝑅𝑁)))
2019imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑚 = 𝐾 → ((𝐴𝑆 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝑁)) ↔ (𝐴𝑆 → (𝑅𝐾) = (𝑅𝑁))))
21 eqidd 2772 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → (𝑅𝑁) = (𝑅𝑁))
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴𝑆 → (𝑅𝑁) = (𝑅𝑁)))
236eleq2d 2836 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
2423pm5.32i 564 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
25 eluznn0 11960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
264, 25sylan 569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27 nn0uz 11924 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
28 algcvga.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
29 0zd 11591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑆 → 0 ∈ ℤ)
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑆𝐴𝑆)
31 algcvga.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹:𝑆𝑆
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑆𝐹:𝑆𝑆)
3327, 28, 29, 30, 32algrp1 15495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
3426, 33syldan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
3527, 28, 29, 30, 32algrf 15494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑆𝑅:ℕ0𝑆)
3635ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑘) ∈ 𝑆)
3726, 36syldan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑅𝑘) ∈ 𝑆)
38 algcvga.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
3931, 28, 2, 38, 1algcvga 15500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑆 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0))
4039imp 393 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0)
41 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶𝑧) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
4241eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶𝑧) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0))
43 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑅𝑘) → 𝑧 = (𝑅𝑘))
4543, 44eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐹𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘(𝑅𝑘)) = (𝑅𝑘)))
4642, 45imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (((𝐶𝑧) = 0 → (𝐹𝑧) = 𝑧) ↔ ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐹‘(𝑅𝑘)) = (𝑅𝑘))))
47 algfx.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑆 → ((𝐶𝑧) = 0 → (𝐹𝑧) = 𝑧))
4846, 47vtoclga 3423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐹‘(𝑅𝑘)) = (𝑅𝑘)))
4937, 40, 48sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹‘(𝑅𝑘)) = (𝑅𝑘))
5034, 49eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅𝑘))
5150eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅𝑁) ↔ (𝑅𝑘) = (𝑅𝑁)))
5251biimprd 238 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑅𝑘) = (𝑅𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅𝑁)))
5352expcom 398 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐴𝑆 → ((𝑅𝑘) = (𝑅𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅𝑁))))
5453adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐴𝑆 → ((𝑅𝑘) = (𝑅𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅𝑁))))
5524, 54sylbir 225 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}) → (𝐴𝑆 → ((𝑅𝑘) = (𝑅𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅𝑁))))
5655a2d 29 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}) → ((𝐴𝑆 → (𝑅𝑘) = (𝑅𝑁)) → (𝐴𝑆 → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅𝑁))))
5711, 14, 17, 20, 22, 56uzind3 11673 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}) → (𝐴𝑆 → (𝑅𝐾) = (𝑅𝑁)))
588, 57sylbi 207 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐴𝑆 → (𝑅𝐾) = (𝑅𝑁)))
5958ex 397 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐴𝑆 → (𝑅𝐾) = (𝑅𝑁))))
6059com3r 87 . 2 (𝐴𝑆 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑅𝐾) = (𝑅𝑁))))
615, 60mpd 15 1 (𝐴𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑅𝐾) = (𝑅𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  {crab 3065  {csn 4316   class class class wbr 4786   × cxp 5247  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  1st c1st 7313  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cle 10277  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  seqcseq 13008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator