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Theorem alexsublem 21895
Description: Lemma for alexsub 21896. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
alexsub.1 (𝜑𝑋 ∈ UFL)
alexsub.2 (𝜑𝑋 = 𝐵)
alexsub.3 (𝜑𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
alexsub.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
alexsub.5 (𝜑𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
alexsub.6 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)
Assertion
Ref Expression
alexsublem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem alexsublem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3617 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋 (𝐵𝐹)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹)))
2 alexsub.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
32eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵))))
43anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦𝐽𝑥𝑦) ↔ (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦)))
54biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦))
65adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦))
7 tg2 20817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥𝑧𝑧𝑦))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥𝑧𝑧𝑦))
9 alexsub.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
10 ufilfil 21755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
1211ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
13 alexsub.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑋 = 𝐵)
149elfvexd 6260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑋 ∈ V)
1513, 14eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 𝐵 ∈ V)
16 uniexb 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V)
1715, 16sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐵 ∈ V)
18 elfi2 8361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
2111ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
22 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))
23 intss1 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧𝑦 𝑦𝑧)
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑦𝑧)
25 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑥 𝑦)
2624, 25sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑥𝑧)
2726ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → 𝑥𝑧)
28 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ≠ ∅))
2928simplbi 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
3029ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
31 elfpw 8309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ∈ Fin))
3231simplbi 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦𝐵)
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐵)
3433sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝐵)
3534anasss 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐵)
3635anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐹))
37 eldif 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝐵𝐹) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐹))
3836, 37sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → 𝑧 ∈ (𝐵𝐹))
39 elunii 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥𝑧𝑧 ∈ (𝐵𝐹)) → 𝑥 (𝐵𝐹))
4027, 38, 39syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → 𝑥 (𝐵𝐹))
4140ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → (¬ 𝑧𝐹𝑥 (𝐵𝐹)))
4222, 41mt3d 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐹)
4342expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → (𝑧𝑦𝑧𝐹))
4443ssrdv 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐹)
4528simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
4645ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ≠ ∅)
4731simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
4830, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
49 elfir 8362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦𝐹𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
5021, 44, 46, 48, 49syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
51 filfi 21710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
5221, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
5350, 52eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐹)
5453expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 𝑦 𝑦𝐹))
55 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑥 𝑦))
56 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐹 𝑦𝐹))
5755, 56imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝑧𝑧𝐹) ↔ (𝑥 𝑦 𝑦𝐹)))
5854, 57syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑧𝐹)))
5958rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑧𝐹)))
6020, 59sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) → (𝑥𝑧𝑧𝐹)))
6160imp32 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝐹)
6261adantrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑧𝐹)
6362adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑧𝐹)
64 elssuni 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐽𝑦 𝐽)
6564ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦 𝐽)
66 fibas 20829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (fi‘𝐵) ∈ TopBases
67 tgtopon 20823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((fi‘𝐵) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘ (fi‘𝐵)))
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘ (fi‘𝐵))
692, 68syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ (fi‘𝐵)))
70 fiuni 8375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (fi‘𝐵))
7117, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 𝐵 = (fi‘𝐵))
7213, 71eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑋 = (fi‘𝐵))
7372fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (TopOn‘𝑋) = (TopOn‘ (fi‘𝐵)))
7469, 73eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
75 toponuni 20767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 = 𝐽)
7776ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑋 = 𝐽)
7865, 77sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝑋)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑦𝑋)
80 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑧𝑦)
81 filss 21704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑧𝐹𝑦𝑋𝑧𝑦)) → 𝑦𝐹)
8212, 63, 79, 80, 81syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑦𝐹)
838, 82rexlimddv 3064 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝐹)
8483expr 642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦𝑦𝐹))
8584ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))
8685expr 642 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → (¬ 𝑥 (𝐵𝐹) → ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹)))
8786imdistanda 729 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹)) → (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
881, 87syl5bi 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝐵𝐹)) → (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
89 flimopn 21826 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
9074, 11, 89syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
9188, 90sylibrd 249 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝐵𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
9291ssrdv 3642 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 (𝐵𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹))
93 alexsub.6 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)
94 sseq0 4008 . . . . . . 7 (((𝑋 (𝐵𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐽 fLim 𝐹) = ∅) → (𝑋 (𝐵𝐹)) = ∅)
9592, 93, 94syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 (𝐵𝐹)) = ∅)
96 ssdif0 3975 . . . . . 6 (𝑋 (𝐵𝐹) ↔ (𝑋 (𝐵𝐹)) = ∅)
9795, 96sylibr 224 . . . . 5 (𝜑𝑋 (𝐵𝐹))
98 difss 3770 . . . . . . 7 (𝐵𝐹) ⊆ 𝐵
9998unissi 4493 . . . . . 6 (𝐵𝐹) ⊆ 𝐵
10099, 13syl5sseqr 3687 . . . . 5 (𝜑 (𝐵𝐹) ⊆ 𝑋)
10197, 100eqssd 3653 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝐵𝐹))
102101, 98jctil 559 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹)))
103 difexg 4841 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵𝐹) ∈ V)
10417, 103syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐹) ∈ V)
105104adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → (𝐵𝐹) ∈ V)
106 sseq1 3659 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐵𝐹) ⊆ 𝐵))
107 unieq 4476 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵𝐹) → 𝑥 = (𝐵𝐹))
108107eqeq2d 2661 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (𝑋 = 𝑥𝑋 = (𝐵𝐹)))
109106, 108anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐵𝐹) → ((𝑥𝐵𝑋 = 𝑥) ↔ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))))
110109anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐵𝐹) → ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹)))))
111 pweq 4194 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐵𝐹) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝐵𝐹))
112111ineq1d 3846 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (𝒫 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin))
113112rexeqdv 3175 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦))
114110, 113imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)))
115 alexsub.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
116114, 115vtoclg 3297 . . . 4 ((𝐵𝐹) ∈ V → ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦))
117105, 116mpcom 38 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
118102, 117mpdan 703 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
119 unieq 4476 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
120 uni0 4497 . . . . . . 7 ∅ = ∅
121119, 120syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
122121neeq2d 2883 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → (𝑋 𝑦𝑋 ≠ ∅))
123 difssd 3771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → (𝑋𝑧) ⊆ 𝑋)
124123ralrimivw 2996 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → ∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ⊆ 𝑋)
125 riinn0 4627 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ⊆ 𝑋𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = 𝑧𝑦 (𝑋𝑧))
126124, 125sylan 487 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = 𝑧𝑦 (𝑋𝑧))
12714ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
128 difexg 4841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ V → (𝑋𝑧) ∈ V)
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋𝑧) ∈ V)
130129ralrimivw 2996 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ∈ V)
131 dfiin2g 4585 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ∈ V → 𝑧𝑦 (𝑋𝑧) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)})
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋𝑧) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)})
133 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧))
134133rnmpt 5403 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)}
135134inteqi 4511 . . . . . . . . . 10 ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)}
136132, 135syl6eqr 2703 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋𝑧) = ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)))
137126, 136eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)))
13811ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
139 elfpw 8309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐵𝐹) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
140139simplbi 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐵𝐹))
141140ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ (𝐵𝐹))
142141sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐵𝐹))
143142eldifbd 3620 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → ¬ 𝑧𝐹)
1449ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
145141difss2d 3773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦𝐵)
146145sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝐵)
147 elssuni 4499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐵𝑧 𝐵)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 𝐵)
14913ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑋 = 𝐵)
150148, 149sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑋)
151 ufilb 21757 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (¬ 𝑧𝐹 ↔ (𝑋𝑧) ∈ 𝐹))
152144, 150, 151syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → (¬ 𝑧𝐹 ↔ (𝑋𝑧) ∈ 𝐹))
153143, 152mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑋𝑧) ∈ 𝐹)
154153, 133fmptd 6425 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)):𝑦𝐹)
155 frn 6091 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)):𝑦𝐹 → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ⊆ 𝐹)
156154, 155syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ⊆ 𝐹)
157133, 153dmmptd 6062 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = 𝑦)
158 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
159157, 158eqnetrd 2890 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
160 dm0rn0 5374 . . . . . . . . . . 11 (dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = ∅ ↔ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = ∅)
161160necon3bii 2875 . . . . . . . . . 10 (dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
162159, 161sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
163139simprbi 479 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
164163ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
165 abrexfi 8307 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Fin → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)} ∈ Fin)
166134, 165syl5eqel 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Fin → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ∈ Fin)
167164, 166syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ∈ Fin)
168 filintn0 21712 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ⊆ 𝐹 ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ∈ Fin)) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
169138, 156, 162, 167, 168syl13anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
170137, 169eqnetrd 2890 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
171 disj3 4054 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = ∅ ↔ 𝑋 = (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)))
172171necon3bii 2875 . . . . . . 7 ((𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)))
173170, 172sylib 208 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)))
174 iundif2 4619 . . . . . . 7 𝑧𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧))
175 dfss4 3891 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑧)
176150, 175sylib 208 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑧)
177176iuneq2dv 4574 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑧𝑦 𝑧)
178 uniiun 4605 . . . . . . . 8 𝑦 = 𝑧𝑦 𝑧
179177, 178syl6eqr 2703 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑦)
180174, 179syl5eqr 2699 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = 𝑦)
181173, 180neeqtrd 2892 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 𝑦)
18211adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
183 filtop 21706 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
184 fileln0 21701 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋 ≠ ∅)
185183, 184mpdan 703 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
186182, 185syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 ≠ ∅)
187122, 181, 186pm2.61ne 2908 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 𝑦)
188187neneqd 2828 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → ¬ 𝑋 = 𝑦)
189188nrexdv 3030 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
190118, 189pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   cuni 4468   cint 4507   ciun 4552   ciin 4553  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ficfi 8357  topGenctg 16145  TopOnctopon 20763  TopBasesctb 20797  Filcfil 21696  UFilcufil 21750  UFLcufl 21751   fLim cflim 21785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-fin 8001  df-fi 8358  df-topgen 16151  df-fbas 19791  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-nei 20950  df-fil 21697  df-ufil 21752  df-flim 21790
This theorem is referenced by:  alexsub  21896
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