MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephsucdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephsucdom 9106
Description: A set dominated by an aleph is strictly dominated by its successor aleph and vice-versa. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephsucdom (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem alephsucdom
StepHypRef Expression
1 alephordilem1 9100 . . 3 (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
2 domsdomtr 8255 . . . 4 ((𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵)) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
32ex 397 . . 3 (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) → ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))
41, 3syl5com 31 . 2 (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))
5 sdomdom 8141 . . . . 5 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵))
6 alephon 9096 . . . . . 6 (ℵ‘suc 𝐵) ∈ On
7 ondomen 9064 . . . . . 6 (((ℵ‘suc 𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵)) → 𝐴 ∈ dom card)
86, 7mpan 670 . . . . 5 (𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ dom card)
9 cardid2 8983 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
105, 8, 93syl 18 . . . 4 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
1110ensymd 8164 . . 3 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (card‘𝐴))
12 alephnbtwn2 9099 . . . . . 6 ¬ ((ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴) ∧ (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
1312imnani 387 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴) → ¬ (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
14 ensdomtr 8256 . . . . . 6 (((card‘𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)) → (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
1510, 14mpancom 668 . . . . 5 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
1613, 15nsyl3 135 . . . 4 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴))
17 cardon 8974 . . . . 5 (card‘𝐴) ∈ On
18 alephon 9096 . . . . 5 (ℵ‘𝐵) ∈ On
19 domtriord 8266 . . . . 5 (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴)))
2017, 18, 19mp2an 672 . . . 4 ((card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴))
2116, 20sylibr 224 . . 3 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
22 endomtr 8171 . . 3 ((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ (card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)) → 𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵))
2311, 21, 22syl2anc 573 . 2 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵))
244, 23impbid1 215 1 (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wcel 2145   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  Oncon0 5865  suc csuc 5867  cfv 6030  cen 8110  cdom 8111  csdm 8112  cardccrd 8965  cale 8966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-oi 8575  df-har 8623  df-card 8969  df-aleph 8970
This theorem is referenced by:  alephsuc2  9107  alephreg  9610
  Copyright terms: Public domain W3C validator