Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephsucdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephsucdom 9106
 Description: A set dominated by an aleph is strictly dominated by its successor aleph and vice-versa. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephsucdom (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem alephsucdom
StepHypRef Expression
1 alephordilem1 9100 . . 3 (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
2 domsdomtr 8255 . . . 4 ((𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵)) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
32ex 397 . . 3 (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) → ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))
41, 3syl5com 31 . 2 (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))
5 sdomdom 8141 . . . . 5 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵))
6 alephon 9096 . . . . . 6 (ℵ‘suc 𝐵) ∈ On
7 ondomen 9064 . . . . . 6 (((ℵ‘suc 𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵)) → 𝐴 ∈ dom card)
86, 7mpan 670 . . . . 5 (𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ dom card)
9 cardid2 8983 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
105, 8, 93syl 18 . . . 4 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
1110ensymd 8164 . . 3 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (card‘𝐴))
12 alephnbtwn2 9099 . . . . . 6 ¬ ((ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴) ∧ (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
1312imnani 387 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴) → ¬ (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
14 ensdomtr 8256 . . . . . 6 (((card‘𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)) → (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
1510, 14mpancom 668 . . . . 5 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
1613, 15nsyl3 135 . . . 4 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴))
17 cardon 8974 . . . . 5 (card‘𝐴) ∈ On
18 alephon 9096 . . . . 5 (ℵ‘𝐵) ∈ On
19 domtriord 8266 . . . . 5 (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴)))
2017, 18, 19mp2an 672 . . . 4 ((card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴))
2116, 20sylibr 224 . . 3 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
22 endomtr 8171 . . 3 ((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ (card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)) → 𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵))
2311, 21, 22syl2anc 573 . 2 (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵))
244, 23impbid1 215 1 (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  Oncon0 5865  suc csuc 5867  ‘cfv 6030   ≈ cen 8110   ≼ cdom 8111   ≺ csdm 8112  cardccrd 8965  ℵcale 8966 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-oi 8575  df-har 8623  df-card 8969  df-aleph 8970 This theorem is referenced by:  alephsuc2  9107  alephreg  9610
 Copyright terms: Public domain W3C validator