Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephord2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephord2 9103
 Description: Ordering property of the aleph function. Theorem 8A(a) of [Enderton] p. 213 and its converse. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephord2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord2
StepHypRef Expression
1 alephord 9102 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
2 alephon 9096 . . . 4 (ℵ‘𝐴) ∈ On
3 alephon 9096 . . . . 5 (ℵ‘𝐵) ∈ On
4 onenon 8979 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
6 cardsdomel 9004 . . . 4 (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵))))
72, 5, 6mp2an 672 . . 3 ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)))
8 alephcard 9097 . . . 4 (card‘(ℵ‘𝐵)) = (ℵ‘𝐵)
98eleq2i 2842 . . 3 ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵))
107, 9bitri 264 . 2 ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵))
111, 10syl6bb 276 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  Oncon0 5865  ‘cfv 6030   ≺ csdm 8112  cardccrd 8965  ℵcale 8966 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-oi 8575  df-har 8623  df-card 8969  df-aleph 8970 This theorem is referenced by:  alephord2i  9104  alephord3  9105  alephiso  9125  alephval3  9137
 Copyright terms: Public domain W3C validator