Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephord 9108
 Description: Ordering property of the aleph function. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephord ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord
StepHypRef Expression
1 alephordi 9107 . . 3 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
21adantl 473 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
3 brsdom 8146 . . 3 ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
4 alephon 9102 . . . . . . . . 9 (ℵ‘𝐴) ∈ On
5 alephon 9102 . . . . . . . . 9 (ℵ‘𝐵) ∈ On
6 domtriord 8273 . . . . . . . . 9 (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
74, 5, 6mp2an 710 . . . . . . . 8 ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴))
8 alephordi 9107 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴 → (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
98con3d 148 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On → (¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ 𝐵𝐴))
107, 9syl5bi 232 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → ¬ 𝐵𝐴))
1110adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → ¬ 𝐵𝐴))
12 ontri1 5918 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
1311, 12sylibrd 249 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → 𝐴𝐵))
14 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵))
15 eqeng 8157 . . . . . . . 8 ((ℵ‘𝐴) ∈ On → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
164, 14, 15mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵))
1716necon3bi 2958 . . . . . 6 (¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵) → 𝐴𝐵)
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵) → 𝐴𝐵))
1913, 18anim12d 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵)))
20 onelpss 5925 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵)))
2119, 20sylibrd 249 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)) → 𝐴𝐵))
223, 21syl5bi 232 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) → 𝐴𝐵))
232, 22impbid 202 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804  Oncon0 5884  ‘cfv 6049   ≈ cen 8120   ≼ cdom 8121   ≺ csdm 8122  ℵcale 8972 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-oi 8582  df-har 8630  df-card 8975  df-aleph 8976 This theorem is referenced by:  alephord2  9109  alephdom  9114  alephval2  9606
 Copyright terms: Public domain W3C validator