Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephgeom 8890
 Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 8874 . . 3 (ℵ‘∅) = ω
2 0ss 3963 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐴
3 0elon 5766 . . . . 5 ∅ ∈ On
4 alephord3 8886 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
53, 4mpan 705 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
62, 5mpbii 223 . . 3 (𝐴 ∈ On → (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴))
71, 6syl5eqssr 3642 . 2 (𝐴 ∈ On → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
8 peano1 7070 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
9 ordom 7059 . . . . . . . 8 Ord ω
10 ord0 5765 . . . . . . . 8 Ord ∅
11 ordtri1 5744 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ Ord ∅) → (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω))
129, 10, 11mp2an 707 . . . . . . 7 (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω)
1312con2bii 347 . . . . . 6 (∅ ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ ∅)
148, 13mpbi 220 . . . . 5 ¬ ω ⊆ ∅
15 ndmfv 6205 . . . . . 6 𝐴 ∈ dom ℵ → (ℵ‘𝐴) = ∅)
1615sseq2d 3625 . . . . 5 𝐴 ∈ dom ℵ → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ ω ⊆ ∅))
1714, 16mtbiri 317 . . . 4 𝐴 ∈ dom ℵ → ¬ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1817con4i 113 . . 3 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom ℵ)
19 alephfnon 8873 . . . 4 ℵ Fn On
20 fndm 5978 . . . 4 (ℵ Fn On → dom ℵ = On)
2119, 20ax-mp 5 . . 3 dom ℵ = On
2218, 21syl6eleq 2709 . 2 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
237, 22impbii 199 1 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ⊆ wss 3567  ∅c0 3907  dom cdm 5104  Ord word 5710  Oncon0 5711   Fn wfn 5871  ‘cfv 5876  ωcom 7050  ℵcale 8747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-oi 8400  df-har 8448  df-card 8750  df-aleph 8751 This theorem is referenced by:  alephislim  8891  cardalephex  8898  isinfcard  8900  alephval3  8918  alephval2  9379  alephadd  9384  alephmul  9385  alephexp1  9386  alephsuc3  9387  alephexp2  9388  alephreg  9389  pwcfsdom  9390  cfpwsdom  9391  gchaleph  9478  gchaleph2  9479
 Copyright terms: Public domain W3C validator