Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephdom 9094
 Description: Relationship between inclusion of ordinal numbers and dominance of infinite initial ordinals. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
alephdom ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephdom
StepHypRef Expression
1 onsseleq 5926 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
2 alephord 9088 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
3 sdomdom 8149 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
42, 3syl6bi 243 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
5 fvex 6362 . . . . . . 7 (ℵ‘𝐴) ∈ V
6 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵))
7 eqeng 8155 . . . . . . 7 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
85, 6, 7mpsyl 68 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵))
98a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
10 endom 8148 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
119, 10syl6 35 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
124, 11jaod 394 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
131, 12sylbid 230 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
14 eloni 5894 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
15 eloni 5894 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
16 ordtri2or 5983 . . . . . 6 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
1714, 15, 16syl2anr 496 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
1817ord 391 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
1918con1d 139 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
20 alephord 9088 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
2120ancoms 468 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
22 sdomnen 8150 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴))
23 sdomdom 8149 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴))
24 sbth 8245 . . . . . . 7 (((ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴))
2524ex 449 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴)))
2623, 25syl 17 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴)))
2722, 26mtod 189 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
2821, 27syl6bi 243 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
2919, 28syld 47 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
3013, 29impcon4bid 217 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804  Ord word 5883  Oncon0 5884  ‘cfv 6049   ≈ cen 8118   ≼ cdom 8119   ≺ csdm 8120  ℵcale 8952 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-oi 8580  df-har 8628  df-card 8955  df-aleph 8956 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator