Theorem aleph1re 14899

Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1re	⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ

Proof of Theorem aleph1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 8833	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		nnenom 12719	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 7950	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4	1, 3	eqbrtri 4634	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ≈ ℕ
5		ruc 14897	. . . . 5 ⊢ ℕ ≺ ℝ
6		ensdomtr 8040	. . . . 5 ⊢ (((ℵ‘∅) ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → (ℵ‘∅) ≺ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 707	. . . 4 ⊢ (ℵ‘∅) ≺ ℝ
8		alephnbtwn2 8839	. . . 4 ⊢ ¬ ((ℵ‘∅) ≺ ℝ ∧ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
9	7, 8	mptnan 1690	. . 3 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅)
10		df-1o 7505	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
11	10	fveq2i 6151	. . . 4 ⊢ (ℵ‘1𝑜) = (ℵ‘suc ∅)
12	11	breq2i 4621	. . 3 ⊢ (ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜) ↔ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
13	9, 12	mtbir 313	. 2 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜)
14		fvex 6158	. . 3 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ∈ V
15		reex 9971	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
16		domtri 9322	. . 3 ⊢ (((ℵ‘1𝑜) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜)))
17	14, 15, 16	mp2an 707	. 2 ⊢ ((ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜))
18	13, 17	mpbir 221	1 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ∅c0 3891   class class class wbr 4613  suc csuc 5684  ‘cfv 5847  ωcom 7012  1_𝑜c1o 7498   ≈ cen 7896   ≼ cdom 7897   ≺ csdm 7898  ℵcale 8706  ℝcr 9879  ℕcn 10964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-ac2 9229  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-har 8407  df-card 8709  df-aleph 8710  df-ac 8883  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742

This theorem is referenced by:  aleph1irr  14900