Theorem aleph1re 15165

Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1re	⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ

Proof of Theorem aleph1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 9071	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		nnenom 12965	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 8163	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4	1, 3	eqbrtri 4817	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ≈ ℕ
5		ruc 15163	. . . . 5 ⊢ ℕ ≺ ℝ
6		ensdomtr 8253	. . . . 5 ⊢ (((ℵ‘∅) ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → (ℵ‘∅) ≺ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 710	. . . 4 ⊢ (ℵ‘∅) ≺ ℝ
8		alephnbtwn2 9077	. . . 4 ⊢ ¬ ((ℵ‘∅) ≺ ℝ ∧ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
9	7, 8	mptnan 1834	. . 3 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅)
10		df-1o 7721	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
11	10	fveq2i 6347	. . . 4 ⊢ (ℵ‘1𝑜) = (ℵ‘suc ∅)
12	11	breq2i 4804	. . 3 ⊢ (ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜) ↔ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
13	9, 12	mtbir 312	. 2 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜)
14		fvex 6354	. . 3 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ∈ V
15		reex 10211	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
16		domtri 9562	. . 3 ⊢ (((ℵ‘1𝑜) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜)))
17	14, 15, 16	mp2an 710	. 2 ⊢ ((ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜))
18	13, 17	mpbir 221	1 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∈ wcel 2131  Vcvv 3332  ∅c0 4050   class class class wbr 4796  suc csuc 5878  ‘cfv 6041  ωcom 7222  1_𝑜c1o 7714   ≈ cen 8110   ≼ cdom 8111   ≺ csdm 8112  ℵcale 8944  ℝcr 10119  ℕcn 11204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-ac2 9469  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-oi 8572  df-har 8620  df-card 8947  df-aleph 8948  df-ac 9121  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-seq 12988

This theorem is referenced by:  aleph1irr  15166