Theorem aleph1re 14457

Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1re	⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ

Proof of Theorem aleph1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 8582	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		nnenom 12306	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 7703	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4	1, 3	eqbrtri 4454	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ≈ ℕ
5		ruc 14455	. . . . 5 ⊢ ℕ ≺ ℝ
6		ensdomtr 7792	. . . . 5 ⊢ (((ℵ‘∅) ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → (ℵ‘∅) ≺ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 695	. . . 4 ⊢ (ℵ‘∅) ≺ ℝ
8		alephnbtwn2 8588	. . . 4 ⊢ ¬ ((ℵ‘∅) ≺ ℝ ∧ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
9	7, 8	mptnan 1681	. . 3 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅)
10		df-1o 7259	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
11	10	fveq2i 5930	. . . 4 ⊢ (ℵ‘1𝑜) = (ℵ‘suc ∅)
12	11	breq2i 4442	. . 3 ⊢ (ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜) ↔ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
13	9, 12	mtbir 308	. 2 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜)
14		fvex 5937	. . 3 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ∈ V
15		reex 9715	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
16		domtri 9066	. . 3 ⊢ (((ℵ‘1𝑜) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜)))
17	14, 15, 16	mp2an 695	. 2 ⊢ ((ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜))
18	13, 17	mpbir 216	1 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 191   ∈ wcel 1937  Vcvv 3066  ∅c0 3757   class class class wbr 4434  suc csuc 5476  ‘cfv 5633  ωcom 6769  1_𝑜c1o 7252   ≈ cen 7649   ≼ cdom 7650   ≺ csdm 7651  ℵcale 8455  ℝcr 9623  ℕcn 10698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1698  ax-4 1711  ax-5 1789  ax-6 1836  ax-7 1883  ax-8 1939  ax-9 1946  ax-10 1965  ax-11 1970  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2485  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4567  ax-pow 4619  ax-pr 4680  ax-un 6659  ax-inf2 8231  ax-ac2 8978  ax-cnex 9680  ax-resscn 9681  ax-1cn 9682  ax-icn 9683  ax-addcl 9684  ax-addrcl 9685  ax-mulcl 9686  ax-mulrcl 9687  ax-mulcom 9688  ax-addass 9689  ax-mulass 9690  ax-distr 9691  ax-i2m1 9692  ax-1ne0 9693  ax-1rid 9694  ax-rnegex 9695  ax-rrecex 9696  ax-cnre 9697  ax-pre-lttri 9698  ax-pre-lttrn 9699  ax-pre-ltadd 9700  ax-pre-mulgt0 9701  ax-pre-sup 9702

This theorem depends on definitions:  df-bi 192  df-or 379  df-an 380  df-3or 1022  df-3an 1023  df-tru 1471  df-fal 1474  df-ex 1693  df-nf 1697  df-sb 1829  df-eu 2357  df-mo 2358  df-clab 2492  df-cleq 2498  df-clel 2501  df-nfc 2635  df-ne 2677  df-nel 2678  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3068  df-sbc 3292  df-csb 3386  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3758  df-if 3909  df-pw 3980  df-sn 3996  df-pr 3998  df-tp 4000  df-op 4002  df-uni 4229  df-int 4265  df-iun 4309  df-br 4435  df-opab 4494  df-mpt 4495  df-tr 4531  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4801  df-so 4802  df-fr 4839  df-se 4840  df-we 4841  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-pred 5431  df-ord 5477  df-on 5478  df-lim 5479  df-suc 5480  df-iota 5597  df-fun 5635  df-fn 5636  df-f 5637  df-f1 5638  df-fo 5639  df-f1o 5640  df-fv 5641  df-isom 5642  df-riota 6325  df-ov 6366  df-oprab 6367  df-mpt2 6368  df-om 6770  df-1st 6870  df-2nd 6871  df-wrecs 7105  df-recs 7167  df-rdg 7205  df-1o 7259  df-er 7440  df-en 7653  df-dom 7654  df-sdom 7655  df-fin 7656  df-sup 8041  df-oi 8108  df-har 8156  df-card 8458  df-aleph 8459  df-ac 8632  df-pnf 9762  df-mnf 9763  df-xr 9764  df-ltxr 9765  df-le 9766  df-sub 9949  df-neg 9950  df-div 10359  df-nn 10699  df-2 10757  df-n0 10961  df-z 11029  df-uz 11250  df-fz 11881  df-seq 12328

This theorem is referenced by:  aleph1irr  14458