Theorem aleph11 8945

Description: The aleph function is one-to-one. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aleph11	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem aleph11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephord3 8939	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))
2		alephord3 8939	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
3	2	ancoms 468	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
4	1, 3	anbi12d 747	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ⊆ (ℵ‘𝐴))))
5		eqss 3651	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
6		eqss 3651	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
7	4, 5, 6	3bitr4g 303	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵)))
8	7	bicomd 213	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  Oncon0 5761  ‘cfv 5926  ℵcale 8800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-oi 8456  df-har 8504  df-card 8803  df-aleph 8804

This theorem is referenced by:  alephf1  8946  alephiso  8959