Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aleph1 9599
 Description: The set exponentiation of 2 to the aleph-zero has cardinality of at least aleph-one. (If we were to assume the Continuum Hypothesis, their cardinalities would be the same.) (Contributed by NM, 7-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
aleph1 (ℵ‘1𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅))

Proof of Theorem aleph1
StepHypRef Expression
1 df-1o 7717 . . 3 1𝑜 = suc ∅
21fveq2i 6336 . 2 (ℵ‘1𝑜) = (ℵ‘suc ∅)
3 alephsucpw 9598 . . 3 (ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅)
4 fvex 6344 . . . . 5 (ℵ‘∅) ∈ V
54pw2en 8227 . . . 4 𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅))
6 domen2 8263 . . . 4 (𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅)) → ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅))))
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅)))
83, 7mpbi 220 . 2 (ℵ‘suc ∅) ≼ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅))
92, 8eqbrtri 4808 1 (ℵ‘1𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196  ∅c0 4063  𝒫 cpw 4298   class class class wbr 4787  suc csuc 5867  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  1𝑜c1o 7710  2𝑜c2o 7711   ↑𝑚 cmap 8013   ≈ cen 8110   ≼ cdom 8111  ℵcale 8966 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-ac2 9491 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-oi 8575  df-har 8623  df-card 8969  df-aleph 8970  df-ac 9143 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator