Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  afv0nbfvbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem afv0nbfvbi 41552
Description: The function's value at an argument is an element of a set if and only if the value of the alternative function at this argument is an element of that set, if the set does not contain the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
afv0nbfvbi (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem afv0nbfvbi
StepHypRef Expression
1 afvvfveq 41549 . . 3 ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴))
2 eleq1 2718 . . . 4 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))
32biimpd 219 . . 3 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))
41, 3mpcom 38 . 2 ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
5 elnelne2 2937 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
65ancoms 468 . . . . 5 ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
7 fvfundmfvn0 6264 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
8 df-dfat 41517 . . . . . 6 (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
9 afvfundmfveq 41539 . . . . . 6 (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴))
108, 9sylbir 225 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → (𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴))
11 eleq1 2718 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = (𝐹'''𝐴) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
1211eqcoms 2659 . . . . . 6 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
1312biimpd 219 . . . . 5 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
146, 7, 10, 134syl 19 . . . 4 ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
1514ex 449 . . 3 (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)))
1615pm2.43d 53 . 2 (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
174, 16impbid2 216 1 (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wnel 2926  c0 3948  {csn 4210  dom cdm 5143  cres 5145  Fun wfun 5920  cfv 5926   defAt wdfat 41514  '''cafv 41515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-res 5155  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-dfat 41517  df-afv 41518
This theorem is referenced by:  aov0nbovbi  41596
  Copyright terms: Public domain W3C validator