MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  advlog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem advlog 24620
Description: The antiderivative of the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlog (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))

Proof of Theorem advlog
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 10229 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 rpre 12041 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
43adantl 467 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
54recnd 10269 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
6 1cnd 10257 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
7 recn 10227 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
87adantl 467 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 1red 10256 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
102dvmptid 23939 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
11 rpssre 12045 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
1211a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
13 eqid 2770 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1413tgioo2 22825 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
15 ioorp 12455 . . . . . . 7 (0(,)+∞) = ℝ+
16 iooretop 22788 . . . . . . 7 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
1715, 16eqeltrri 2846 . . . . . 6 + ∈ (topGen‘ran (,))
1817a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)))
192, 8, 9, 10, 12, 14, 13, 18dvmptres 23945 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1))
20 relogcl 24542 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2120adantl 467 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
22 peano2rem 10549 . . . . . 6 ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
2423recnd 10269 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
25 rpreccl 12059 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
2625adantl 467 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 12076 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
2821recnd 10269 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
29 dvrelog 24603 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
30 relogf1o 24533 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
31 f1of 6278 . . . . . . . . . . 11 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3332feqmptd 6391 . . . . . . . . 9 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
34 fvres 6348 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
3534mpteq2ia 4872 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
3633, 35syl6eq 2820 . . . . . . . 8 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
3736oveq2d 6808 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
3829, 37syl5reqr 2819 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
39 0cnd 10234 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℂ)
40 1cnd 10257 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
41 0cnd 10234 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
42 1cnd 10257 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
432, 42dvmptc 23940 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
442, 40, 41, 43, 12, 14, 13, 18dvmptres 23945 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 0))
452, 28, 27, 38, 6, 39, 44dvmptsub 23949 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) − 0)))
4627subid1d 10582 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) − 0) = (1 / 𝑥))
4746mpteq2dva 4876 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) − 0)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
4845, 47eqtrd 2804 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
492, 5, 6, 19, 24, 27, 48dvmptmul 23943 . . 3 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥))))
5024mulid2d 10259 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · ((log‘𝑥) − 1)) = ((log‘𝑥) − 1))
51 rpne0 12050 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
5251adantl 467 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
535, 52recid2d 10998 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
5450, 53oveq12d 6810 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥)) = (((log‘𝑥) − 1) + 1))
55 ax-1cn 10195 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
56 npcan 10491 . . . . . 6 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((log‘𝑥) − 1) + 1) = (log‘𝑥))
5728, 55, 56sylancl 566 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) − 1) + 1) = (log‘𝑥))
5854, 57eqtrd 2804 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥)) = (log‘𝑥))
5958mpteq2dva 4876 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
6049, 59eqtrd 2804 . 2 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
6160trud 1640 1 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1630  wtru 1631  wcel 2144  wne 2942  wss 3721  {cpr 4316  cmpt 4861  ran crn 5250  cres 5251  wf 6027  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  +∞cpnf 10272  cmin 10467   / cdiv 10885  +crp 12034  (,)cioo 12379  TopOpenctopn 16289  topGenctg 16305  fldccnfld 19960   D cdv 23846  logclog 24521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-cmp 21410  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  25168
  Copyright terms: Public domain W3C validator