HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjvalval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjvalval 29126
Description: Value of the value of the adjoint function. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjvalval ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝐴) = (𝑤 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐴   𝑥,𝑇,𝑤

Proof of Theorem adjvalval
StepHypRef Expression
1 adjcl 29121 . . 3 ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
2 eqcom 2767 . . . . . . 7 (((𝑇𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ (𝑥 ·ih 𝑤) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝐴))
3 adj2 29123 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝐴)))
433com23 1121 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝐴)))
543expa 1112 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝐴)))
65eqeq2d 2770 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝑤) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝐴) ↔ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝐴))))
72, 6syl5bb 272 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝐴))))
87ralbidva 3123 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝐴))))
98adantr 472 . . . 4 (((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝐴))))
10 simpr 479 . . . . 5 (((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
111adantr 472 . . . . 5 (((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
12 hial2eq2 28294 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝐴)) ↔ 𝑤 = ((adj𝑇)‘𝐴)))
1310, 11, 12syl2anc 696 . . . 4 (((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝐴)) ↔ 𝑤 = ((adj𝑇)‘𝐴)))
149, 13bitrd 268 . . 3 (((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ 𝑤 = ((adj𝑇)‘𝐴)))
151, 14riota5 6801 . 2 ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) → (𝑤 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤)) = ((adj𝑇)‘𝐴))
1615eqcomd 2766 1 ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝐴) = (𝑤 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  dom cdm 5266  cfv 6049  crio 6774  (class class class)co 6814  chil 28106   ·ih csp 28109  adjcado 28142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-hilex 28186  ax-hfvadd 28187  ax-hvcom 28188  ax-hvass 28189  ax-hv0cl 28190  ax-hvaddid 28191  ax-hfvmul 28192  ax-hvmulid 28193  ax-hvdistr2 28196  ax-hvmul0 28197  ax-hfi 28266  ax-his1 28269  ax-his2 28270  ax-his3 28271  ax-his4 28272
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-2 11291  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-hvsub 28158  df-adjh 29038
This theorem is referenced by:  nmopadjlei  29277
  Copyright terms: Public domain W3C validator