HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adj1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adj1o 28881
Description: The adjoint function maps one-to-one onto its domain. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adj1o adj:dom adj1-1-onto→dom adj

Proof of Theorem adj1o
StepHypRef Expression
1 funadj 28873 . . 3 Fun adj
2 funfn 5956 . . 3 (Fun adj ↔ adj Fn dom adj)
31, 2mpbi 220 . 2 adj Fn dom adj
4 funcnvadj 28880 . 2 Fun adj
5 df-rn 5154 . . 3 ran adj = dom adj
6 cnvadj 28879 . . . 4 adj = adj
76dmeqi 5357 . . 3 dom adj = dom adj
85, 7eqtri 2673 . 2 ran adj = dom adj
9 dff1o2 6180 . 2 (adj:dom adj1-1-onto→dom adj ↔ (adj Fn dom adj ∧ Fun adj ∧ ran adj = dom adj))
103, 4, 8, 9mpbir3an 1263 1 adj:dom adj1-1-onto→dom adj
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  1-1-ontowf1o 5925  adjcado 27940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-hvsub 27956  df-adjh 28836
This theorem is referenced by:  dmadjrn  28882  adjbdlnb  29071  adjbd1o  29072
  Copyright terms: Public domain W3C validator