Theorem addsubd 10605

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 10484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1477	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6813  ℂcc 10126   + caddc 10131   − cmin 10458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460

This theorem is referenced by:  lesub2  10715  fzoshftral  12779  modadd1  12901  discr  13195  bcp1n  13297  bcpasc  13302  revccat  13715  crre  14053  isercoll2  14598  binomlem  14760  climcndslem1  14780  binomfallfaclem2  14970  pythagtriplem14  15735  vdwlem6  15892  gsumccat  17579  srgbinomlem3  18742  itgcnlem  23755  dvcvx  23982  dvfsumlem1  23988  dvfsumlem2  23989  plymullem1  24169  aaliou3lem2  24297  abelthlem2  24385  tangtx  24456  loglesqrt  24698  dcubic1  24771  quart1lem  24781  quartlem1  24783  basellem3  25008  basellem5  25010  chtub  25136  logfaclbnd  25146  bcp1ctr  25203  lgsquad2lem1  25308  2lgslem3b  25321  selberglem1  25433  selberg3  25447  selbergr  25456  selberg3r  25457  pntlemf  25493  pntlemo  25495  brbtwn2  25984  colinearalglem1  25985  colinearalglem2  25986  crctcsh  26927  clwwlkccatlem  27112  clwwlkel  27175  clwwlkwwlksb  27184  clwwlknonex2lem1  27256  ltesubnnd  29877  ballotlemfp1  30862  subfacp1lem6  31474  fwddifnp1  32578  poimirlem25  33747  poimirlem26  33748  jm2.24nn  38028  jm2.18  38057  jm2.25  38068  dvnmul  40661  fourierdlem4  40831  fourierdlem26  40853  fourierdlem42  40869  vonicclem1  41403  cnambpcma  41819  cnapbmcpd  41820  fmtnorec4  41971  ltsubaddb  42814  ltsubadd2b  42816