Theorem addsubassd 10614

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 10493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1476	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6793  ℂcc 10136   + caddc 10141   − cmin 10468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281  df-sub 10470

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  13253  hashun3  13375  swrdccatin2  13696  incexclem  14775  bpoly4  14996  gsumccat  17586  mndodconglem  18167  efgredleme  18363  ovollb2lem  23476  ovolunlem1  23485  ply1divex  24116  tangtx  24478  tanarg  24586  affineequiv  24774  chordthmlem4  24783  heron  24786  dquartlem2  24800  quart  24809  atanlogsublem  24863  chtublem  25157  bposlem9  25238  2lgslem3b  25343  2lgslem3c  25344  2lgslem3d  25345  dchrisum0re  25423  mulog2sumlem1  25444  selberglem2  25456  selberg4  25471  selbergr  25478  selberg3r  25479  selberg34r  25481  brbtwn2  26006  ax5seglem2  26030  wwlksnextwrd  27041  wwlksnextinj  27043  clwwlkccatlem  27139  ex-ind-dvds  27660  lt2addrd  29856  archirngz  30083  fibp1  30803  dnibndlem10  32814  bj-bary1lem  33497  acongeq  38076  jm3.1lem2  38111  inductionexd  38979  fzisoeu  40031  sumnnodd  40380  stoweidlem26  40760  wallispilem4  40802  wallispi2lem1  40805  wallispi2lem2  40806  fourierdlem26  40867  fourierdlem41  40882  fourierdlem42  40883  fourierdlem48  40888  fourierdlem63  40903  fourierdlem107  40947  smfmullem1  41518  fmtnorec2lem  41982  fmtnorec3  41988  lighneallem3  42052  bgoldbtbndlem2  42222  m1modmmod  42844  assraddsubd  43048