Users' Mathboxes Mathbox for Andrew Salmon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addrcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addrcom 39098
Description: Vector addition is commutative. (Contributed by Andrew Salmon, 28-Jan-2012.)
Assertion
Ref Expression
addrcom ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴))

Proof of Theorem addrcom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addrfn 39095 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ)
2 addrfn 39095 . . 3 ((𝐵𝐷𝐴𝐶) → (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ)
32ancoms 468 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ)
4 addcomgi 39079 . . . . . 6 ((𝐴𝑥) + (𝐵𝑥)) = ((𝐵𝑥) + (𝐴𝑥))
5 addrfv 39092 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐴𝑥) + (𝐵𝑥)))
6 addrfv 39092 . . . . . . 7 ((𝐵𝐷𝐴𝐶𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥) = ((𝐵𝑥) + (𝐴𝑥)))
763com12 1117 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥) = ((𝐵𝑥) + (𝐴𝑥)))
84, 5, 73eqtr4a 2784 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥))
983expia 1114 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥)))
109ralrimiv 3067 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥))
11 eqfnfv 6426 . . 3 (((𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ ∧ (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ) → ((𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥)))
1210, 11syl5ibrcom 237 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (((𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ ∧ (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴)))
131, 3, 12mp2and 717 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014   Fn wfn 5996  cfv 6001  (class class class)co 6765  cr 10048   + caddc 10052  +𝑟cplusr 39080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-addf 10128
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-ltxr 10192  df-addr 39086
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator