MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addnqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addnqf 9972
Description: Domain of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addnqf +Q :(Q × Q)⟶Q

Proof of Theorem addnqf
StepHypRef Expression
1 nqerf 9954 . . . 4 [Q]:(N × N)⟶Q
2 addpqf 9968 . . . 4 +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
3 fco 6198 . . . 4 (([Q]:(N × N)⟶Q ∧ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)) → ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q)
41, 2, 3mp2an 672 . . 3 ([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q
5 elpqn 9949 . . . . 5 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
65ssriv 3756 . . . 4 Q ⊆ (N × N)
7 xpss12 5264 . . . 4 ((Q ⊆ (N × N) ∧ Q ⊆ (N × N)) → (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N)))
86, 6, 7mp2an 672 . . 3 (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))
9 fssres 6210 . . 3 ((([Q] ∘ +pQ ):((N × N) × (N × N))⟶Q ∧ (Q × Q) ⊆ ((N × N) × (N × N))) → (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
104, 8, 9mp2an 672 . 2 (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q
11 df-plq 9938 . . 3 +Q = (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q))
1211feq1i 6176 . 2 ( +Q :(Q × Q)⟶Q ↔ (([Q] ∘ +pQ ) ↾ (Q × Q)):(Q × Q)⟶Q)
1310, 12mpbir 221 1 +Q :(Q × Q)⟶Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3723   × cxp 5247  cres 5251  ccom 5253  wf 6027  Ncnpi 9868   +pQ cplpq 9872  Qcnq 9876  [Q]cerq 9878   +Q cplq 9879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-ni 9896  df-pli 9897  df-mi 9898  df-lti 9899  df-plpq 9932  df-enq 9935  df-nq 9936  df-erq 9937  df-plq 9938  df-1nq 9940
This theorem is referenced by:  addcomnq  9975  adderpq  9980  addassnq  9982  distrnq  9985  ltanq  9995  ltexnq  9999  nsmallnq  10001  ltbtwnnq  10002  prlem934  10057  ltaddpr  10058  ltexprlem2  10061  ltexprlem3  10062  ltexprlem4  10063  ltexprlem6  10065  ltexprlem7  10066  prlem936  10071
  Copyright terms: Public domain W3C validator