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Theorem addmodlteq 12953
Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. A much shorter proof exists if the "divides" relation can be used, see addmodlteqALT 15256. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteq ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem addmodlteq
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 12678 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
21zred 11684 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
323ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℝ)
4 simp3 1132 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℤ)
54zred 11684 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℝ)
6 elfzo0 12717 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
76simp2bi 1140 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
87nnrpd 12073 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
983ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
10 modaddmod 12917 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁))
113, 5, 9, 10syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁))
1211eqcomd 2777 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁))
13 elfzoelz 12678 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
1413zred 11684 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
15143ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℝ)
16 modaddmod 12917 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
1715, 5, 9, 16syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
1817eqcomd 2777 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁))
1912, 18eqeq12d 2786 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)))
20 nn0re 11503 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
21 nnrp 12045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
2220, 21anim12i 600 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
23223adant3 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
24 modcl 12880 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
266, 25sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
27263ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
2827, 5readdcld 10271 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ)
29 modcl 12880 . . . . . . 7 ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℝ)
3029recnd 10270 . . . . . 6 ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
3128, 9, 30syl2anc 573 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
32 elfzo0 12717 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
33 nn0re 11503 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℝ)
3433, 21anim12i 600 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
35343adant3 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
36 modcl 12880 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℝ)
3832, 37sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℝ)
39383ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℝ)
4039, 5readdcld 10271 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ)
41 modcl 12880 . . . . . . 7 ((((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℝ)
4241recnd 10270 . . . . . 6 ((((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
4340, 9, 42syl2anc 573 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
4431, 43subeq0ad 10604 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 ↔ (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)))
45 oveq1 6800 . . . . 5 (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
46 modsubmodmod 12937 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁))
4728, 40, 9, 46syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁))
4826recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
49483ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
5038recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℂ)
51503ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℂ)
524zcnd 11685 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℂ)
5349, 51, 52pnpcan2d 10632 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) = ((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)))
5453oveq1d 6808 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁))
5547, 54eqtrd 2805 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁))
5632simp2bi 1140 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
5756nnrpd 12073 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
58 0mod 12909 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
60593ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑁) = 0)
6155, 60eqeq12d 2786 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0))
62 zmodidfzoimp 12908 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) = 𝐼)
63623ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) = 𝐼)
64 zmodidfzoimp 12908 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) = 𝐽)
65643ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) = 𝐽)
6663, 65oveq12d 6811 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) = (𝐼𝐽))
6766oveq1d 6808 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐼𝐽) mod 𝑁))
6867eqeq1d 2773 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0))
69 zsubcl 11621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼𝐽) ∈ ℤ)
701, 13, 69syl2an 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐼𝐽) ∈ ℤ)
7170zred 11684 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐼𝐽) ∈ ℝ)
728adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
73 mod0 12883 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
7471, 72, 73syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
75 zdiv 11649 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼𝐽) ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
767, 70, 75syl2an2r 664 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
77 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
78 elfzoel2 12677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
7978zcnd 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8079mul01d 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 · 0) = 0)
8180adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 · 0) = 0)
8281adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0) = 0)
8377, 82sylan9eq 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 = 0 ∧ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑘) = 0)
8483eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 = 0 ∧ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) ↔ 0 = (𝐼𝐽)))
85 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 = (𝐼𝐽) ↔ (𝐼𝐽) = 0)
861zcnd 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
8713zcnd 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
88 subeq0 10509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐼𝐽) = 0 ↔ 𝐼 = 𝐽))
8986, 87, 88syl2an 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐼𝐽) = 0 ↔ 𝐼 = 𝐽))
9089biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐼𝐽) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
9185, 90syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0 = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9291adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9392adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 = 0 ∧ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (0 = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9484, 93sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 = 0 ∧ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9594ex 397 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))
96 subfzo0 12798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
9796adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
98 elz 11581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
99 pm2.24 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 0 → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))
10099a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 0 → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))
1011002a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))))
102 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁 ↔ (𝐼𝐽) < 𝑁))
103 nncn 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
104103mulid1d 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
105104adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
106105eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 = (𝑁 · 1))
107106breq2d 4798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1)))
108 nnre 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
109108adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
110 1red 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
11121adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
112109, 110, 111ltmul2d 12117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 1 ↔ (𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1)))
113 nnge1 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
114 1red 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
115114, 108lenltd 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 1))
116 pm2.21 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑘 < 1 → (𝑘 < 1 → 𝐼 = 𝐽))
117115, 116syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑘 → (𝑘 < 1 → 𝐼 = 𝐽)))
118113, 117mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 < 1 → 𝐼 = 𝐽))
119118adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 1 → 𝐼 = 𝐽))
120112, 119sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1) → 𝐼 = 𝐽))
121107, 120sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽))
122121ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽)))
1231223ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽)))
12432, 123sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽)))
125124adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽)))
126125com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁 → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽)))
127126a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁 → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽))))
128102, 127syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → ((𝐼𝐽) < 𝑁 → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽)))))
129128com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐼𝐽) < 𝑁 → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
130129com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝐽) < 𝑁 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
131130adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
132131com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
133132a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))))
134 breq2 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) ↔ -𝑁 < (𝐼𝐽)))
135 nnre 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
136 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
137 remulcl 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℝ)
138135, 136, 137syl2an 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℝ)
139135adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
140138, 139possumd 10854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝑁 · 𝑘)))
141103adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
142141mulid1d 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
143142eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 = (𝑁 · 1))
144143oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
145 recn 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℂ)
146145adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℂ)
147146adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
148 1cnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 1 ∈ ℂ)
149141, 147, 148adddid 10266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
150144, 149eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑘 + 1)))
151150breq2d 4798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) ↔ 0 < (𝑁 · (𝑘 + 1))))
152 peano2re 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
153152adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
154153adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
155139, 154remulcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
156 0red 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 0 ∈ ℝ)
157 nnnn0 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
158157nn0ge0d 11556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
159 nnge1 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ -𝑘)
160 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 ∈ ℂ → 𝑘 ∈ ℂ)
161 1cnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
162160, 161addcomd 10440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) = (1 + 𝑘))
163161, 160subnegd 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑘 ∈ ℂ → (1 − -𝑘) = (1 + 𝑘))
164162, 163eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
165145, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
166165adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 ≤ -𝑘𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
167 1red 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑘 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
168 renegcl 10546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑘 ∈ ℝ → -𝑘 ∈ ℝ)
169167, 168suble0d 10820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑘 ∈ ℝ → ((1 − -𝑘) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -𝑘))
170169biimparc 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 ≤ -𝑘𝑘 ∈ ℝ) → (1 − -𝑘) ≤ 0)
171166, 170eqbrtrd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((1 ≤ -𝑘𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 + 1) ≤ 0)
172159, 171sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 + 1) ≤ 0)
173158, 172anim12i 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝑁 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 0))
174173olcd 863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑘 + 1)) ∨ (0 ≤ 𝑁 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 0)))
175 mulle0b 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑁 · (𝑘 + 1)) ≤ 0 ↔ ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑘 + 1)) ∨ (0 ≤ 𝑁 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 0))))
176135, 153, 175syl2an 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑁 · (𝑘 + 1)) ≤ 0 ↔ ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑘 + 1)) ∨ (0 ≤ 𝑁 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 0))))
177174, 176mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ≤ 0)
178155, 156, 177lensymd 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ¬ 0 < (𝑁 · (𝑘 + 1)))
179178pm2.21d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 < (𝑁 · (𝑘 + 1)) → 𝐼 = 𝐽))
180151, 179sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
181140, 180sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))
182181a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽)))
183182ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))))
1841833ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))))
1856, 184sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))))
186185adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))))
187186com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽))))
188134, 187syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽)))))
189188com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
190189com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-𝑁 < (𝐼𝐽) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
191190adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
192191com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
193192ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))))
194101, 133, 1933jaoi 1539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))))
195194impcom 394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
19698, 195sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
197196impcom 394 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))
19897, 197mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))
199198com12 32 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 = 0 → (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))
20095, 199pm2.61i 176 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
201200rexlimdva 3179 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
20276, 201sylbird 250 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ → 𝐼 = 𝐽))
20374, 202sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
2042033adant3 1126 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
20568, 204sylbid 230 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
20661, 205sylbid 230 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
20745, 206syl5 34 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
20844, 207sylbird 250 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
20919, 208sylbid 230 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
210 oveq1 6800 . . 3 (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
211210oveq1d 6808 . 2 (𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
212209, 211impbid1 215 1 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3o 1070  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  +crp 12035  ..^cfzo 12673   mod cmo 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877
This theorem is referenced by:  cshf1  13765
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