MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addmodid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addmodid 12926
Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
addmodid ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem addmodid
StepHypRef Expression
1 nncn 11230 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
21mulid2d 10260 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1 · 𝑀) = 𝑀)
323ad2ant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
43eqcomd 2777 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 = (1 · 𝑀))
54oveq1d 6808 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝑀 + 𝐴) = ((1 · 𝑀) + 𝐴))
65oveq1d 6808 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
7 1zzd 11610 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
8 nnrp 12045 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
983ad2ant2 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ+)
10 nn0re 11503 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
1110rexrd 10291 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ*)
12113ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ*)
13 nn0ge0 11520 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
14133ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
15 simp3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 < 𝑀)
16 0xr 10288 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
17 nnre 11229 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
1817rexrd 10291 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ*)
19183ad2ant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ*)
20 elico1 12423 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
2116, 19, 20sylancr 575 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
2212, 14, 15, 21mpbir3and 1427 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ (0[,)𝑀))
23 muladdmodid 12918 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
247, 9, 22, 23syl3anc 1476 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
256, 24eqtrd 2805 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  +crp 12035  [,)cico 12382   mod cmo 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fl 12801  df-mod 12877
This theorem is referenced by:  addmodidr  12927  cshwidxn  13764  eucrctshift  27423  ex-mod  27648
  Copyright terms: Public domain W3C validator