MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addlsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addlsub 10670
Description: Left-subtraction: Subtraction of the left summand from the result of an addition. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlsub.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addlsub.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addlsub.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
addlsub (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐶𝐵)))

Proof of Theorem addlsub
StepHypRef Expression
1 oveq1 6819 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵))
2 addlsub.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 addlsub.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
42, 3pncand 10616 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
5 eqtr2 2794 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → (𝐶𝐵) = 𝐴)
65eqcomd 2780 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶𝐵))
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶𝐵)))
84, 7mpan2d 675 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵) → 𝐴 = (𝐶𝐵)))
91, 8syl5 34 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐶𝐵)))
10 oveq1 6819 . . 3 (𝐴 = (𝐶𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐶𝐵) + 𝐵))
11 addlsub.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1211, 3npcand 10619 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) + 𝐵) = 𝐶)
13 eqtr 2793 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
1512, 14mpan2d 675 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶𝐵) + 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
1610, 15syl5 34 . 2 (𝜑 → (𝐴 = (𝐶𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
179, 16impbid 203 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 383   = wceq 1634  wcel 2148  (class class class)co 6812  cc 10157   + caddc 10162  cmin 10489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-op 4333  df-uni 4586  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-id 5171  df-po 5184  df-so 5185  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-ltxr 10302  df-sub 10491
This theorem is referenced by:  addrsub  10671  subexsub  10672  nn0ob  15330  bj-lineq  33512  blen1b  42934  nn0sumshdiglem1  42967
  Copyright terms: Public domain W3C validator