MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid1d 10274
Description: 0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
addid1d (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addid1d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addid1 10254 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117
This theorem is referenced by:  ltaddneg  10289  subsub2  10347  negsub  10367  ltaddpos  10556  addge01  10576  add20  10578  nnge1  11084  nnnn0addcl  11361  un0addcl  11364  uzaddcl  11782  xaddid1  12110  fzosubel3  12568  expadd  12942  faclbnd4lem4  13123  faclbnd6  13126  hashgadd  13204  ccatrid  13405  swrd0val  13466  swrdid  13474  swrd0fv  13485  swrd0swrd  13507  swrdccatin12lem2b  13532  swrdccatin12lem2  13535  swrdccat3blem  13541  splfv1  13552  cshweqrep  13613  relexpaddg  13837  reim0b  13903  rereb  13904  immul2  13921  max0add  14094  iseraltlem2  14457  fsumsplit  14515  sumsplit  14543  binomfallfaclem2  14815  pwp1fsum  15161  bitsinv1lem  15210  sadadd2lem2  15219  sadcaddlem  15226  bezoutlem1  15303  pcadd  15640  pcadd2  15641  pcmpt  15643  vdwapun  15725  vdwlem1  15732  mulgnn0dir  17618  psgnunilem2  17961  sylow1lem1  18059  efginvrel2  18186  efgredleme  18202  efgcpbllemb  18214  frgpnabllem1  18322  mplcoe5  19516  regsumfsum  19862  regsumsupp  20016  xrsxmet  22659  reparphti  22843  minveclem6  23251  ovolunnul  23314  voliunlem3  23366  ovolioo  23382  itg2splitlem  23560  itg2split  23561  itgrevallem1  23606  itgsplitioo  23649  ditgsplit  23670  dvnadd  23737  dvlipcn  23802  ply1divex  23941  dvntaylp  24170  ulmshft  24189  abelthlem6  24235  cosmpi  24285  sinppi  24286  sinhalfpip  24289  logrnaddcl  24366  affineequiv  24598  chordthmlem3  24606  atanlogaddlem  24685  atanlogsublem  24687  leibpi  24714  scvxcvx  24757  dmgmn0  24797  lgamgulmlem2  24801  lgambdd  24808  logexprlim  24995  2sqblem  25201  dchrvmasum2if  25231  dchrvmasumlem  25257  axcontlem8  25896  crctcshlem4  26768  eupth2lem3lem6  27211  ipidsq  27693  minvecolem6  27866  normpyc  28131  pjspansn  28564  lnfnmuli  29031  hstoh  29219  archirngz  29871  indsumin  30212  esumpfinvallem  30264  signsvtp  30788  signlem0  30792  fsum2dsub  30813  cvxpconn  31350  cvxsconn  31351  elmrsubrn  31543  faclim2  31760  fwddifn0  32396  fwddifnp1  32397  dnizeq0  32590  knoppndvlem6  32633  bj-bary1lem  33290  poimirlem1  33540  poimirlem5  33544  poimirlem6  33545  poimirlem7  33546  poimirlem11  33550  poimirlem12  33551  poimirlem17  33556  poimirlem20  33559  poimirlem22  33561  poimirlem24  33563  poimirlem25  33564  poimirlem29  33568  poimirlem31  33570  mblfinlem2  33577  mbfposadd  33587  itg2addnc  33594  itgaddnclem2  33599  ftc1anclem5  33619  ftc1anclem8  33622  areacirc  33635  pell1qrgaplem  37754  jm2.19lem3  37875  jm2.25  37883  relexpaddss  38327  int-add01d  38804  binomcxplemnn0  38865  fperiodmullem  39831  xralrple3  39903  sumnnodd  40180  fprodaddrecnncnvlem  40441  ioodvbdlimc1lem2  40465  volioc  40506  volico  40518  stoweidlem11  40546  stoweidlem26  40561  stirlinglem12  40620  fourierdlem4  40646  fourierdlem42  40684  fourierdlem60  40701  fourierdlem61  40702  fourierdlem92  40733  fourierdlem107  40748  fouriersw  40766  etransclem24  40793  etransclem35  40804  hoidmvlelem2  41131  hspmbllem1  41161  sharhght  41375  deccarry  41646  pfxmpt  41712  pfxfv  41724  pfxccatin12lem1  41748  pfxccatin12lem2  41749  altgsumbcALT  42456
  Copyright terms: Public domain W3C validator