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Theorem addid1 10160
Description: 0 is an additive identity. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
addid1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addid1
Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9983 . 2 1 ∈ ℝ
2 ax-rnegex 9951 . 2 (1 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0)
3 ax-1ne0 9949 . . . . . 6 1 ≠ 0
4 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 0 → (1 + 𝑐) = (1 + 0))
54eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 0 → ((1 + 𝑐) = 0 ↔ (1 + 0) = 0))
65biimpcd 239 . . . . . . . 8 ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → (1 + 0) = 0))
7 oveq2 6612 . . . . . . . . 9 ((1 + 0) = 0 → (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0))
8 ax-icn 9939 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
98, 8mulcli 9989 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · i) ∈ ℂ
109, 9mulcli 9989 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ
11 ax-1cn 9938 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
12 0cn 9976 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
1310, 11, 12adddii 9994 . . . . . . . . . . . 12 (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0))
1410mulid1i 9986 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · i) · (i · i)) · 1) = ((i · i) · (i · i))
15 mul01 10159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ → (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0)
1610, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0
17 ax-i2m1 9948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i · i) + 1) = 0
1816, 17eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · i) · (i · i)) · 0) = ((i · i) + 1)
1914, 18oveq12i 6616 . . . . . . . . . . . 12 ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
2013, 19eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
2120, 16eqeq12i 2635 . . . . . . . . . 10 ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0)
2210, 9, 11addassi 9992 . . . . . . . . . . . 12 ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
239mulid1i 9986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · 1) = (i · i)
2423oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = (((i · i) · (i · i)) + (i · i))
259, 9, 11adddii 9994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · ((i · i) + 1)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1))
2617oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · ((i · i) + 1)) = ((i · i) · 0)
27 mul01 10159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i · i) ∈ ℂ → ((i · i) · 0) = 0)
289, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 0) = 0
2926, 28eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · ((i · i) + 1)) = 0
3025, 29eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = 0
3124, 30eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · i) · (i · i)) + (i · i)) = 0
3231oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . 12 ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (0 + 1)
3322, 32eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . 11 (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = (0 + 1)
34 00id 10155 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 0
3534eqcomi 2630 . . . . . . . . . . 11 0 = (0 + 0)
3633, 35eqeq12i 2635 . . . . . . . . . 10 ((((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0 ↔ (0 + 1) = (0 + 0))
37 0re 9984 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
38 readdcan 10154 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
391, 37, 37, 38mp3an 1421 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
4021, 36, 393bitri 286 . . . . . . . . 9 ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ 1 = 0)
417, 40sylib 208 . . . . . . . 8 ((1 + 0) = 0 → 1 = 0)
426, 41syl6 35 . . . . . . 7 ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → 1 = 0))
4342necon3d 2811 . . . . . 6 ((1 + 𝑐) = 0 → (1 ≠ 0 → 𝑐 ≠ 0))
443, 43mpi 20 . . . . 5 ((1 + 𝑐) = 0 → 𝑐 ≠ 0)
45 ax-rrecex 9952 . . . . 5 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
4644, 45sylan2 491 . . . 4 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
47 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
48 simplrl 799 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4948recnd 10012 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5047, 49mulcld 10004 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
51 simplll 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℝ)
5251recnd 10012 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℂ)
5312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
5450, 52, 53adddid 10008 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)))
5511a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
5655, 52, 53addassd 10006 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (1 + (𝑐 + 0)))
57 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝑐) = 0)
5857oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (0 + 0))
5956, 58eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (0 + 0))
6034, 59, 573eqtr4a 2681 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐))
6137a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
6251, 61readdcld 10013 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) ∈ ℝ)
631a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ)
64 readdcan 10154 . . . . . . . . . . 11 (((𝑐 + 0) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
6562, 51, 63, 64syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
6660, 65mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) = 𝑐)
6766oveq2d 6620 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
6854, 67eqtr3d 2657 . . . . . . 7 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
69 mul31 10148 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
7047, 49, 52, 69syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
71 simplrr 800 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 · 𝑥) = 1)
7271oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
7347mulid2d 10002 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
7470, 72, 733eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = 𝐴)
75 mul01 10159 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
7650, 75syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
7774, 76oveq12d 6622 . . . . . . 7 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = (𝐴 + 0))
7868, 77, 743eqtr3d 2663 . . . . . 6 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7978exp42 638 . . . . 5 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))))
8079rexlimdv 3023 . . . 4 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)))
8146, 80mpd 15 . . 3 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
8281rexlimiva 3021 . 2 (∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
831, 2, 82mp2b 10 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  ici 9882   + caddc 9883   · cmul 9885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023
This theorem is referenced by:  cnegex  10161  addid2  10163  addcan2  10165  addid1i  10167  addid1d  10180  subid  10244  subid1  10245  addid0  10394  swrdccat3blem  13432  shftval3  13750  reim0  13792  isercolllem3  14331  fsumcvg  14376  summolem2a  14379  risefac1  14689  cnaddid  18194  ovolicc1  23191  brbtwn2  25685  axsegconlem1  25697  ax5seglem4  25712  axeuclid  25743  axcontlem2  25745  axcontlem4  25747  stoweidlem26  39547  2zrngamnd  41226  aacllem  41847
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