MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addgt0sr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addgt0sr 10137
Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addgt0sr ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Proof of Theorem addgt0sr
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 10101 . . . . . 6 <R ⊆ (R × R)
21brel 5325 . . . . 5 (0R <R 𝐴 → (0RR𝐴R))
32simprd 482 . . . 4 (0R <R 𝐴𝐴R)
4 ltasr 10133 . . . . 5 (𝐴R → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
5 0idsr 10130 . . . . . 6 (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
65breq1d 4814 . . . . 5 (𝐴R → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
74, 6bitrd 268 . . . 4 (𝐴R → (0R <R 𝐵𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
83, 7syl 17 . . 3 (0R <R 𝐴 → (0R <R 𝐵𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
98biimpa 502 . 2 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵))
10 ltsosr 10127 . . 3 <R Or R
1110, 1sotri 5681 . 2 ((0R <R 𝐴𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
129, 11syldan 488 1 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  Rcnr 9899  0Rc0r 9900   +R cplr 9903   <R cltr 9905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-ec 7915  df-qs 7919  df-ni 9906  df-pli 9907  df-mi 9908  df-lti 9909  df-plpq 9942  df-mpq 9943  df-ltpq 9944  df-enq 9945  df-nq 9946  df-erq 9947  df-plq 9948  df-mq 9949  df-1nq 9950  df-rq 9951  df-ltnq 9952  df-np 10015  df-1p 10016  df-plp 10017  df-ltp 10019  df-enr 10089  df-nr 10090  df-plr 10091  df-ltr 10093  df-0r 10094
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator