MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomnq 9986
Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 30-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcomnq (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)

Proof of Theorem addcomnq
StepHypRef Expression
1 addcompq 9985 . . . 4 (𝐴 +pQ 𝐵) = (𝐵 +pQ 𝐴)
21fveq2i 6357 . . 3 ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴))
3 addpqnq 9973 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)))
4 addpqnq 9973 . . . 4 ((𝐵Q𝐴Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
54ancoms 468 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
62, 3, 53eqtr4a 2821 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
7 addnqf 9983 . . . 4 +Q :(Q × Q)⟶Q
87fdmi 6214 . . 3 dom +Q = (Q × Q)
98ndmovcom 6988 . 2 (¬ (𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
106, 9pm2.61i 176 1 (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140   × cxp 5265  cfv 6050  (class class class)co 6815   +pQ cplpq 9883  Qcnq 9887  [Q]cerq 9889   +Q cplq 9890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-omul 7736  df-er 7914  df-ni 9907  df-pli 9908  df-mi 9909  df-lti 9910  df-plpq 9943  df-enq 9946  df-nq 9947  df-erq 9948  df-plq 9949  df-1nq 9951
This theorem is referenced by:  ltaddnq  10009  addclprlem2  10052  addclpr  10053  addcompr  10056  distrlem4pr  10061  prlem934  10068  ltexprlem2  10072  ltexprlem6  10076  ltexprlem7  10077  prlem936  10082
  Copyright terms: Public domain W3C validator