MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomli 10420
Description: Addition commutes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
mul.2 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
addcomli (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli
StepHypRef Expression
1 mul.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
2 mul.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
31, 2addcomi 10419 . 2 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4 addcomli.2 . 2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
53, 4eqtri 2782 1 (𝐵 + 𝐴) = 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6813  cc 10126   + caddc 10131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271
This theorem is referenced by:  mvlladdi  10491  negsubdi2i  10559  1p2e3  11344  4t4e16  11825  6t3e18  11834  6t5e30  11836  6t5e30OLD  11837  7t3e21  11841  7t4e28  11842  7t6e42  11844  7t7e49  11845  8t3e24  11847  8t4e32  11848  8t5e40  11849  8t5e40OLD  11850  8t8e64  11854  9t3e27  11856  9t4e36  11857  9t5e45  11858  9t6e54  11859  9t7e63  11860  9t8e72  11861  9t9e81  11862  4bc3eq4  13309  n2dvdsm1  15307  bitsfzo  15359  gcdaddmlem  15447  6gcd4e2  15457  gcdi  15979  2exp8  15998  2exp16  15999  37prm  16030  43prm  16031  83prm  16032  139prm  16033  163prm  16034  317prm  16035  631prm  16036  1259lem1  16040  1259lem2  16041  1259lem3  16042  1259lem4  16043  1259lem5  16044  1259prm  16045  2503lem1  16046  2503lem2  16047  2503lem3  16048  2503prm  16049  4001lem1  16050  4001lem2  16051  4001lem4  16053  4001prm  16054  iaa  24279  dvradcnv  24374  eulerid  24425  binom4  24776  log2ublem3  24874  log2ub  24875  lgsdir2lem1  25249  m1lgs  25312  2lgsoddprmlem3d  25337  ex-bc  27620  ex-gcd  27625  ex-ind-dvds  27629  vcm  27740  fib5  30776  fib6  30777  hgt750lem  31038  hgt750lem2  31039  inductionexd  38955  lhe4.4ex1a  39030  dirkertrigeqlem1  40818  sqwvfoura  40948  sqwvfourb  40949  fourierswlem  40950  fouriersw  40951  fmtno5lem4  41978  257prm  41983  fmtno4nprmfac193  41996  fmtno5faclem3  42003  fmtno5fac  42004  139prmALT  42021  127prm  42025  gbpart8  42166
  Copyright terms: Public domain W3C validator