Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcom 10406
 Description: Addition commutes. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
addcom ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem addcom
StepHypRef Expression
1 1cnd 10240 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
21, 1addcld 10243 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 + 1) ∈ ℂ)
3 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
52, 3, 4adddid 10248 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)))
63, 4addcld 10243 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
7 1p1times 10391 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
9 1p1times 10391 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
10 1p1times 10391 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
119, 10oveqan12d 6824 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
125, 8, 113eqtr3rd 2795 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
133, 3addcld 10243 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
1413, 4, 4addassd 10246 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
156, 3, 4addassd 10246 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
1612, 14, 153eqtr4d 2796 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵))
1713, 4addcld 10243 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ)
186, 3addcld 10243 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ)
19 addcan2 10405 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
2017, 18, 4, 19syl3anc 1473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
2116, 20mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴))
223, 3, 4addassd 10246 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)))
233, 4, 3addassd 10246 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
2421, 22, 233eqtr3d 2794 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
254, 3addcld 10243 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
26 addcan 10404 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
273, 6, 25, 26syl3anc 1473 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
2824, 27mpbid 222 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  (class class class)co 6805  ℂcc 10118  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-ltxr 10263 This theorem is referenced by:  addcomi  10411  ltaddnegr  10436  add12  10437  add32  10438  add42  10441  subsub23  10470  pncan2  10472  addsub  10476  addsub12  10478  addsubeq4  10480  sub32  10499  pnpcan2  10505  ppncan  10507  sub4  10510  negsubdi2  10524  ltaddsub2  10687  leaddsub2  10689  leltadd  10696  ltaddpos2  10703  addge02  10723  conjmul  10926  recp1lt1  11105  recreclt  11106  avgle1  11456  avgle2  11457  avgle  11458  nn0nnaddcl  11508  xaddcom  12256  fzen  12543  fzshftral  12613  fzo0addelr  12709  elfzoext  12711  flzadd  12813  addmodidr  12905  modadd2mod  12906  nn0ennn  12964  seradd  13029  bernneq2  13177  hashfz  13398  ccatalpha  13557  revccat  13707  2cshwcom  13754  shftval2  14006  shftval4  14008  crim  14046  absmax  14260  climshft2  14504  summolem3  14636  binom1dif  14756  isumshft  14762  arisum  14783  mertenslem1  14807  bpolydiflem  14976  addcos  15095  demoivreALT  15122  dvdsaddr  15219  sumodd  15305  divalglem4  15313  divalgb  15321  gcdaddm  15440  hashdvds  15674  phiprmpw  15675  pythagtriplem2  15716  prmgaplem7  15955  mulgnndir  17762  mulgnndirOLD  17763  cnaddablx  18463  cnaddabl  18464  zaddablx  18467  cncrng  19961  ioo2bl  22789  icopnfcnv  22934  uniioombllem3  23545  fta1glem1  24116  plyremlem  24250  fta1lem  24253  vieta1lem1  24256  vieta1lem2  24257  aaliou3lem2  24289  dvradcnv  24366  pserdv2  24375  reeff1olem  24391  ptolemy  24439  logcnlem4  24582  cxpsqrt  24640  atandm2  24795  atandm4  24797  atanlogsublem  24833  2efiatan  24836  dvatan  24853  birthdaylem2  24870  emcllem2  24914  fsumharmonic  24929  wilthlem1  24985  wilthlem2  24986  basellem8  25005  1sgmprm  25115  perfectlem2  25146  pntibndlem1  25469  pntibndlem2  25471  pntlemd  25474  pntlemc  25475  eucrctshift  27387  cnaddabloOLD  27737  cdj3lem3b  29600  isarchi3  30042  archiabllem2c  30050  cos2h  33705  tan2h  33706  eldioph2lem1  37817  addcomgi  39154  fz0addcom  41829  epoo  42114  perfectALTVlem2  42133  sbgoldbaltlem2  42170
 Copyright terms: Public domain W3C validator