Theorem acsmre 16519

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 16518	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 479	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382  ∃wex 1851   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060   ∩ cin 3720   ⊆ wss 3721  𝒫 cpw 4295  ∪ cuni 4572   “ cima 5252  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  Fincfn 8108  Moorecmre 16449  ACScacs 16452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-acs 16456

This theorem is referenced by:  acsfiel  16521  acsmred  16523  mreacs  16525  isacs3lem  17373  symggen  18096  odf1o1  18193  lsmmod  18294  gsumzsplit  18533  gsumzoppg  18550  gsumpt  18567  dmdprdd  18605  dprdfeq0  18628  dprdspan  18633  dprdres  18634  dprdss  18635  subgdmdprd  18640  subgdprd  18641  dprdsn  18642  dprd2dlem1  18647  dprd2da  18648  dmdprdsplit2lem  18651  ablfac1b  18676  pgpfac1lem1  18680  pgpfac1lem3  18683  pgpfac1lem4  18684  pgpfac1lem5  18685  pgpfaclem1  18687  pgpfaclem2  18688  isnacs2  37788  proot1mul  38296  proot1hash  38297